Упр.1139 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) sin^6 a+cos^6 a=1/8(5+3cos4a)
2) sin^8 a+cos^8 a=1/32(cos^2 4a+14cos4a+17)

1) Преобразуем левую часть:

$$ \sin^6 a+\cos^6 a=(\sin^2 a)^3+(\cos^2 a)^3 $$

Используем формулу суммы кубов:

$$ x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y) $$

Тогда

$$ \sin^6 a+\cos^6 a=(\sin^2 a+\cos^2 a)^3-3\sin^2 a\cos^2 a(\sin^2 a+\cos^2 a) $$

$$ =1-3\sin^2 a\cos^2 a $$

Теперь преобразуем правую часть:

$$ \frac18(5+3\cos 4a)=\frac18\bigl(5+3(1-2\sin^2 2a)\bigr) $$

$$ =\frac18(8-6\sin^2 2a)=1-\frac34\sin^2 2a $$

Так как $$\sin 2a=2\sin a\cos a,$$ то

$$ 1-\frac34\sin^2 2a=1-\frac34\cdot 4\sin^2 a\cos^2 a=1-3\sin^2 a\cos^2 a $$

Следовательно,

$$ \sin^6 a+\cos^6 a=\frac18(5+3\cos 4a). $$

2) Преобразуем левую часть:

$$ \sin^8 a+\cos^8 a=(\sin^4 a+\cos^4 a)^2-2\sin^4 a\cos^4 a $$

Так как

$$ \sin^4 a+\cos^4 a=(\sin^2 a+\cos^2 a)^2-2\sin^2 a\cos^2 a=1-2\sin^2 a\cos^2 a, $$

то

$$ \sin^8 a+\cos^8 a=(1-2\sin^2 a\cos^2 a)^2-2\sin^4 a\cos^4 a $$

$$ =1-4\sin^2 a\cos^2 a+2\sin^4 a\cos^4 a $$

Переходим к двойному углу:

$$ \sin^2 2a=4\sin^2 a\cos^2 a,\qquad \sin^4 2a=16\sin^4 a\cos^4 a $$

Тогда

$$ \sin^8 a+\cos^8 a=1-\sin^2 2a+\frac18\sin^4 2a $$

Подставим $$\sin^2 2a=\frac{1-\cos 4a}{2}$$ и $$\sin^4 2a=\frac{(1-\cos 4a)^2}{4}:$$

$$ 1-\frac12(1-\cos 4a)+\frac18\cdot\frac{(1-\cos 4a)^2}{4} $$

$$ =1-\frac12+\frac12\cos 4a+\frac1{32}(1-2\cos 4a+\cos^2 4a) $$

$$ =\frac{17+14\cos 4a+\cos^2 4a}{32} $$

Значит,

$$ \sin^8 a+\cos^8 a=\frac1{32}\bigl(\cos^2 4a+14\cos 4a+17\bigr). $$

Ответ

$$ 1)\ \sin^6 a+\cos^6 a=\frac18(5+3\cos 4a),\qquad 2)\ \sin^8 a+\cos^8 a=\frac1{32}\bigl(\cos^2 4a+14\cos 4a+17\bigr). $$