Упр.1138 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1138. sin^2 a + cos(pi/3 — a)•cos(pi/3 + a)=1/4 .

Используем формулу произведения косинусов:

$$\cos x \cos y=\frac12\bigl(\cos(x-y)+\cos(x+y)\bigr).$$

Тогда

$$ \sin^2 a+\cos\left(\frac{\pi}{3}-a\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right) =\sin^2 a+\frac12\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}-a-\frac{\pi}{3}-a\right)+\cos\left(\frac{\pi}{3}-a+\frac{\pi}{3}+a\right)\right). $$

Упростим:

$$ \sin^2 a+\frac12\left(\cos(-2a)+\cos\frac{2\pi}{3}\right) =\sin^2 a+\frac12\left(\cos 2a-\frac12\right). $$

Так как $$\cos(-2a)=\cos 2a$$ и $$\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12,$$ получаем:

$$ \sin^2 a+\frac12\cos 2a-\frac14. $$

Подставим формулу $$\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a$$:

$$ \sin^2 a+\frac12(\cos^2 a-\sin^2 a)-\frac14 =\frac12\sin^2 a+\frac12\cos^2 a-\frac14. $$

Так как $$\sin^2 a+\cos^2 a=1,$$ то

$$ \frac12(\sin^2 a+\cos^2 a)-\frac14=\frac12-\frac14=\frac14. $$

Тождество доказано.

Ответ

$$\frac14$$