Упр.1136 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

(sina+sin3a+sin5a)/(cosa+cos3a+cos5a)=tg3a

Преобразуем сумму синусов и сумму косинусов по формулам:

$$ \sin a+\sin 5a=2\sin \frac{a+5a}{2}\cos \frac{a-5a}{2}=2\sin 3a\cos 2a, $$
$$ \cos a+\cos 5a=2\cos \frac{a+5a}{2}\cos \frac{a-5a}{2}=2\cos 3a\cos 2a. $$

Тогда

$$ \frac{\sin a+\sin 3a+\sin 5a}{\cos a+\cos 3a+\cos 5a} = \frac{2\sin 3a\cos 2a+\sin 3a}{2\cos 3a\cos 2a+\cos 3a}. $$

Вынесем общий множитель:

$$ \frac{\sin 3a(2\cos 2a+1)}{\cos 3a(2\cos 2a+1)}. $$

Сокращаем на $$2\cos 2a+1$$:

$$ \frac{\sin 3a}{\cos 3a}=\tg 3a. $$

Тождество доказано.

Ответ

$$ \frac{\sin a+\sin 3a+\sin 5a}{\cos a+\cos 3a+\cos 5a}=\tg 3a. $$