Упр.1135 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1135. 1) sin^2(a + b) = sin^2 a + sin^2 b + 2sina sinb cos(a + b);
2) sina + 2sin3a + sin5a = 4sin3acos^2 a.

1) Преобразуем левую часть:

$$ \sin^2(a+b)=(\sin a\cos b+\sin b\cos a)^2 $$
$$ =\sin^2 a\cos^2 b+\sin^2 b\cos^2 a+2\sin a\cos b\cdot \sin b\cos a $$
$$ =\sin^2 a(1-\sin^2 b)+\sin^2 b(1-\sin^2 a)+2\sin a\sin b\cos a\cos b $$
$$ =\sin^2 a+\sin^2 b-2\sin^2 a\sin^2 b+2\sin a\sin b\cos a\cos b $$
$$ =\sin^2 a+\sin^2 b+2\sin a\sin b(\cos a\cos b-\sin a\sin b) $$
$$ =\sin^2 a+\sin^2 b+2\sin a\sin b\cos(a+b). $$

Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть:

$$ \sin a+2\sin 3a+\sin 5a =2\sin\frac{a+5a}{2}\cos\frac{a-5a}{2}+2\sin 3a $$
$$ =2\sin 3a\cos 2a+2\sin 3a =2\sin 3a(\cos 2a+1) $$
$$ =2\sin 3a\cdot 2\cos^2 a =4\sin 3a\cos^2 a. $$

Тождество доказано.

Ответ

$$ \sin^2(a+b)=\sin^2 a+\sin^2 b+2\sin a\sin b\cos(a+b), $$
$$ \sin a+2\sin 3a+\sin 5a=4\sin 3a\cos^2 a. $$