Упр.1127 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) (2sin2a-sin4a)/(2sin2a+sin4a)=4tg^a
2) (2cos2a-sin4a)/(2cos2a+sin4a)=tg^2(pi/4-a)

Подробный ответ

1) Преобразуем левую часть:

$$ \frac{2\sin 2a-\sin 4a}{2\sin 2a+\sin 4a} = \frac{2\sin 2a-2\sin 2a\cos 2a}{2\sin 2a+2\sin 2a\cos 2a} = \frac{2\sin 2a(1-\cos 2a)}{2\sin 2a(1+\cos 2a)} = \frac{1-\cos 2a}{1+\cos 2a}. $$

Используем формулу

$$ \frac{1-\cos 2a}{1+\cos 2a}=\tg^2 a. $$

Следовательно,

$$ \frac{2\sin 2a-\sin 4a}{2\sin 2a+\sin 4a}=\tg^2 a. $$

Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть:

$$ \frac{2\cos 2a-\sin 4a}{2\cos 2a+\sin 4a} = \frac{2\cos 2a-2\sin 2a\cos 2a}{2\cos 2a+2\sin 2a\cos 2a} = \frac{2\cos 2a(1-\sin 2a)}{2\cos 2a(1+\sin 2a)} = \frac{1-\sin 2a}{1+\sin 2a}. $$

Заметим, что

$$ \sin 2a=\cos\left(\frac{\pi}{2}-2a\right), $$

поэтому

$$ \frac{1-\sin 2a}{1+\sin 2a} = \frac{1-\cos\left(\frac{\pi}{2}-2a\right)}{1+\cos\left(\frac{\pi}{2}-2a\right)} = \tg^2\left(\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}-2a\right)\right) = \tg^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right). $$

Следовательно,

$$ \frac{2\cos 2a-\sin 4a}{2\cos 2a+\sin 4a} = \tg^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right). $$

Тождество доказано.