Упр.1126 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) (v3(cos 75- cos 15))/(1-2sin^2 15)
2) (2cos^2 pi/8 -1)/(1+8sin^2pi/8cos^2pi/8)

1. $$\frac{\sqrt{3}\,(\cos 75^\circ-\cos 15^\circ)}{1-2\sin^2 15^\circ}$$

   Используем формулу разности косинусов:
   $$\cos \alpha-\cos \beta=-2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2}.$$

   Тогда
   $$ \cos 75^\circ-\cos 15^\circ =-2\sin 45^\circ \sin 30^\circ. $$

   А знаменатель преобразуем по формуле:
   $$ 1-2\sin^2 15^\circ=\cos 30^\circ. $$

   Получаем
   $$ \frac{\sqrt{3}\,(\cos 75^\circ-\cos 15^\circ)}{1-2\sin^2 15^\circ} = \frac{\sqrt{3}\cdot(-2\sin 45^\circ\sin 30^\circ)}{\cos 30^\circ}. $$

   Подставим значения:
   $$ \sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2},\quad \sin 30^\circ=\frac12,\quad \cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}. $$

   Тогда
   $$ \frac{\sqrt{3}\cdot(-2)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} =-\sqrt{2}. $$

2. $$\frac{2\cos^2 \frac{\pi}{8}-1}{1+8\sin^2 \frac{\pi}{8}\cos^2 \frac{\pi}{8}}$$

   Числитель:
   $$ 2\cos^2 \frac{\pi}{8}-1=\cos \frac{\pi}{4}. $$

   Знаменатель:
   $$ 1+8\sin^2 \frac{\pi}{8}\cos^2 \frac{\pi}{8} =1+2\left(2\sin \frac{\pi}{8}\cos \frac{\pi}{8}\right)^2. $$

   Так как
   $$ 2\sin \frac{\pi}{8}\cos \frac{\pi}{8}=\sin \frac{\pi}{4}, $$
   то
   $$ 1+8\sin^2 \frac{\pi}{8}\cos^2 \frac{\pi}{8} =1+2\sin^2 \frac{\pi}{4}. $$

   Но
   $$ \sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}, $$
   значит
   $$ 1+2\sin^2 \frac{\pi}{4}=1+2\cdot \frac12=2. $$

   Тогда
   $$ \frac{2\cos^2 \frac{\pi}{8}-1}{1+8\sin^2 \frac{\pi}{8}\cos^2 \frac{\pi}{8}} = \frac{\cos \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}. $$

Ответ

1) $$-\sqrt{2}$$
2) $$\frac{\sqrt{2}}{4}$$