Упр.1117 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
1)
$$\sin a\sin\beta\sin(\beta-a)+\sin\beta\sin\gamma\sin(\gamma-\beta)+\sin\gamma\sin a\sin(a-\gamma)=\sin(a-\beta)\sin(\beta-\gamma)\sin(\gamma-a).$$Преобразуем левую часть:
$$ \sin\beta\bigl(\sin a\sin(\beta-a)+\sin\gamma\sin(\gamma-\beta)\bigr)+\sin\gamma\sin a\sin(a-\gamma) $$
$$ =\sin\beta\cdot\frac{\cos(2a-\beta)-\cos\beta+\cos\beta-\cos(2\gamma-\beta)}{2} +\frac{\cos(\gamma-a)-\cos(\gamma+a)}{2}\sin(a-\gamma) $$
$$ =\frac12\sin\beta\bigl(\cos(2a-\beta)-\cos(2\gamma-\beta)\bigr) +\frac12\bigl(\cos(\gamma-a)-\cos(\gamma+a)\bigr)\sin(a-\gamma). $$Используя формулы
$$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2},$$
$$\sin x\cos y=\frac{\sin(x+y)+\sin(x-y)}{2},$$
получаем
$$ \frac14\bigl(\sin(2\beta-2a)-\sin(2\beta-2\gamma)-\sin(2\gamma-2a)\bigr). $$Преобразуем правую часть:
$$ \frac{\cos(a-2\beta+\gamma)-\cos(a-\gamma)}{2}\sin(\gamma-a) $$
$$ =\frac12\cos(a-2\beta+\gamma)\sin(\gamma-a)-\frac12\cos(a-\gamma)\sin(\gamma-a) $$
$$ =\frac14\bigl(\sin(2\beta-2a)-\sin(2\beta-2\gamma)-\sin(2\gamma-2a)\bigr). $$Левая и правая части равны, тождество доказано.
2)
$$\sin^2 a+\sin^2 3a+\cos 2a\cos 4a+\cos a+\cos 3a+\cos 5a-1=\frac{\sin 6a}{2\sin a}.$$Преобразуем левую часть:
$$ \frac{1-\cos 2a}{2}+\frac{1-\cos 6a}{2}+\frac{\cos 6a+\cos 2a}{2}+\cos a+\cos 5a+\cos 3a-1 $$
$$ =\cos a+\cos 3a+\cos 5a $$
$$ =\cos 3a\,(2\cos 2a+1). $$Преобразуем правую часть:
$$ \frac{\sin 6a}{2\sin a} =\frac{2\sin 3a\cos 3a}{2\sin a} =\frac{(\sin a\cos 2a+2\sin a\cos^2 a)\cos 3a}{\sin a} $$
$$ =\cos 3a\,(\cos 2a+2\cos^2 a) =\cos 3a\,(2\cos 2a+1). $$Левая и правая части равны, тождество доказано.
3)
$$\frac{\sin\frac{5a}{2}}{2\sin\frac{a}{2}}=\frac12+\cos a+\cos 2a.$$Преобразуем левую часть:
$$ \sin\frac{5a}{2} =\sin\frac{a}{2}+2\sin\frac{a}{2}\cos a+2\sin\frac{a}{2}\cos 2a, $$
поэтому
$$ \frac{\sin\frac{5a}{2}}{2\sin\frac{a}{2}} =\frac12+\cos a+\cos 2a. $$Тождество доказано.
