Упр.1116 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) cos4xcos2x = cos5хcosх;
2) sin5xsinx = sin7xsin3x;
3) sin(x + пи/3)cos(x -пи/6) = 1;
4) 2sin(пи/4 + x)sin(пи/4 — x) + sin^2 x = 0.

1. $$\cos 4x \cos 2x=\cos 5x \cos x$$

   Используем формулу произведения в сумму:

   $$ \frac{\cos 6x+\cos 2x}{2}=\frac{\cos 6x+\cos 4x}{2} $$

   $$ \cos 2x=\cos 4x $$

   $$ \cos 4x-\cos 2x=0 $$

   $$ -2\sin 3x\sin x=0 $$

   Отсюда:

   $$ \sin 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0 $$

   $$ 3x=\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi n}{3} $$

   $$ x=\pi n $$

   Так как $$x=\pi n$$ входит в множество $$x=\frac{\pi n}{3}$$, получаем:

   $$ x=\frac{\pi n}{3}, \quad n\in \mathbb{Z} $$

2. $$\sin 5x \sin x=\sin 7x \sin 3x$$

   Преобразуем произведения в сумму:

   $$ \frac{\cos 4x-\cos 6x}{2}=\frac{\cos 4x-\cos 10x}{2} $$

   $$ \cos 10x-\cos 6x=0 $$

   $$ -2\sin 8x\sin 2x=0 $$

   Следовательно,

   $$ \sin 8x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0 $$

   $$ 8x=\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi n}{8} $$

   $$ 2x=\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi n}{2} $$

   Так как $$x=\frac{\pi n}{2}$$ входит в множество $$x=\frac{\pi n}{8}$$, получаем:

   $$ x=\frac{\pi n}{8}, \quad n\in \mathbb{Z} $$

3. $$\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=1$$

   Используем формулу:

   $$ \sin A\cos B=\frac{1}{2}\bigl(\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr) $$

   $$ \frac{1}{2}\left(\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+\sin\frac{\pi}{2}\right)=1 $$

   $$ \frac{1}{2}\left(\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+1\right)=1 $$

   $$ \sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=1 $$

   $$ 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2\pi n $$

   $$ 2x=\frac{\pi}{3}+2\pi n $$

   $$ x=\frac{\pi}{6}+\pi n $$

4. $$2\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)+\sin^2 x=0$$

   Применим формулу:

   $$ 2\sin A\sin B=\cos(A-B)-\cos(A+B) $$

   $$ 2\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\cos 2x-\cos\frac{\pi}{2} $$

   Тогда

   $$ \cos 2x-\cos\frac{\pi}{2}+\sin^2 x=0 $$

   $$ \cos 2x+\sin^2 x=0 $$

   Так как $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$, получаем:

   $$ \cos^2 x-\sin^2 x+\sin^2 x=0 $$

   $$ \cos^2 x=0 $$

   $$ \cos x=0 $$

   $$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n $$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb{Z}$$;
2) $$x=\frac{\pi n}{8},\ n\in\mathbb{Z}$$;
3) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$;
4) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$.