Упр.1115 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 1115. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения sin(x+pi/8)cos(x-pi/24) *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 1115 1012

Преобразуем произведение по формуле

$$\sin A \cos B=\frac12\bigl(\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr).$$

Пусть

$$A=x+\frac{\pi}{8}, \qquad B=x-\frac{\pi}{24}.$$

Тогда

$$ \sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{24}\right) =\frac12\left(\sin\left(2x+\frac{\pi}{12}\right)+\sin\frac{\pi}{6}\right). $$

Так как $$\sin\frac{\pi}{6}=\frac12,$$ получаем

$$ a=\frac12\sin\left(2x+\frac{\pi}{12}\right)+\frac14. $$

Поскольку

$$-1\le \sin\left(2x+\frac{\pi}{12}\right)\le 1,$$

то

$$ -\frac12+\frac14 \le a \le \frac12+\frac14. $$

Следовательно,

$$ -\frac14 \le a \le \frac34. $$

Наименьшее значение выражения равно $$-\frac14,$$ а наибольшее — $$\frac34.$$

Ответ

$$\frac34;\ -\frac14$$