Упр.1114 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 1114. При каком значении x выражение cos(ПИ/4 + 2x)cos(пи/8— 2x) принимает наименьшее значение? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 1114 1012

Преобразуем произведение по формуле суммы косинусов:

$$ \cos\left(\frac{\pi}{4}+2x\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}-2x\right) =\frac12\left(\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)+\cos\left(\frac{3\pi}{8}+4x\right)\right). $$

Так как $$\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)$$ — постоянная величина, наименьшее значение выражение принимает при наименьшем значении косинуса:

$$ \cos\left(\frac{3\pi}{8}+4x\right)=-1. $$

Тогда

$$ \frac{3\pi}{8}+4x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}. $$

Отсюда

$$ 4x=\frac{5\pi}{8}+2\pi n, $$

$$ x=\frac{5\pi}{32}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}. $$

Ответ

$$ x=\frac{5\pi}{32}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}. $$