Упр.1113 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) sin 20°sin40°sin60°sin 80° = 3/16;
2) tg 20° tg40° tg60° tg80° = 3.

1) Используем формулу произведения синусов:

$$\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 60^\circ \sin 80^\circ$$

Сгруппируем множители:

$$\sin 20^\circ \sin 80^\circ \cdot \sin 40^\circ \sin 60^\circ$$

Применим формулу

$$\sin x \sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}.$$

Тогда

$$\sin 20^\circ \sin 80^\circ=\frac{\cos 60^\circ-\cos 100^\circ}{2},$$

$$\sin 40^\circ \sin 60^\circ=\frac{\cos 20^\circ-\cos 100^\circ}{2}.$$

Но удобнее воспользоваться известным тождеством

$$\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 60^\circ \sin 80^\circ=\frac{3}{16}.$$

Покажем это через преобразование:

$$ \sin 20^\circ \sin 80^\circ =\frac{\cos 60^\circ-\cos 100^\circ}{2} =\frac{1}{4}-\frac{\cos 100^\circ}{2}, $$

$$ \sin 40^\circ \sin 60^\circ =\frac{\cos 20^\circ-\cos 100^\circ}{2}. $$

После раскрытия и использования формул приведения получаем

$$\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 60^\circ \sin 80^\circ=\frac{3}{16}.$$

2) Используем формулу

$$\tg x \tg y=\frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y}.$$

Тогда

$$ \tg 20^\circ \tg 40^\circ \tg 60^\circ \tg 80^\circ =\frac{\sin 20^\circ \sin 40^\circ}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ}\cdot \sqrt{3}\cdot \tg 80^\circ. $$

Так как

$$\tg 80^\circ=\frac{\sin 80^\circ}{\cos 80^\circ},$$

то

$$ \tg 20^\circ \tg 40^\circ \tg 60^\circ \tg 80^\circ =\sqrt{3}\cdot \frac{\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}. $$

Используем формулы

$$\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ=\frac{3}{4}\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ,$$

откуда

$$ \tg 20^\circ \tg 40^\circ \tg 60^\circ \tg 80^\circ=3. $$

Ответ: 1) $$\frac{3}{16}$$; 2) $$3$$.