Упр.1111 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) sina(1 + 2cos2a);
2) 2cosa cos2a — cos3a;
3) cos2a + 2sin(a + пи/6)sin(a — пи/6);
4) cos^2 3 + cos^2 1 — cos4 cos2.

1. $$\sin a(1+2\cos 2a)=\sin a+2\sin a\cos 2a$$
   $$\sin a+2\sin a\cos 2a=\sin a+\bigl(\sin 3a-\sin a\bigr)=\sin 3a.$$
2. $$2\cos a\cos 2a-\cos 3a=\bigl(\cos 3a+\cos a\bigr)-\cos 3a=\cos a.$$
3. $$\cos 2a+2\sin\left(a+\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(a-\frac{\pi}{6}\right)$$
   $$=\cos 2a+\cos\left(\left(a+\frac{\pi}{6}\right)-\left(a-\frac{\pi}{6}\right)\right)-\cos\left(\left(a+\frac{\pi}{6}\right)+\left(a-\frac{\pi}{6}\right)\right)$$
   $$=\cos 2a+\cos\frac{\pi}{3}-\cos 2a=\frac12.$$
4. $$\cos^2 3+\cos^2 1-\cos 4\cos 2$$
   $$=\frac{1+\cos 6}{2}+\frac{1+\cos 2}{2}-\frac{\cos 6+\cos 2}{2}$$
   $$=\frac{2+\cos 6+\cos 2-\cos 6-\cos 2}{2}=1.$$

Ответ

1) $$\sin 3a$$; 2) $$\cos a$$; 3) $$\frac12$$; 4) $$1$$.