Упр.1109 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

2) 4cosx • sin^2 x/2;
3) sin^3a;
4) 4cos^4a.

1. $$2\cos^2\left(a-\frac{\pi}{4}\right)=1+\cos\left(2a-\frac{\pi}{2}\right)=1+\sin 2a.$$

2. $$4\cos x\sin^2\frac{x}{2}=4\cos x\cdot \frac{1-\cos x}{2}=2\cos x(1-\cos x).$$

   $$2\cos x(1-\cos x)=2\cos x-2\cos^2 x=2\cos x-(1+\cos 2x)=2\cos x-\cos 2x-1.$$

3. $$\sin^3 a=\sin a\cdot \sin^2 a=\sin a\cdot \frac{1-\cos 2a}{2}.$$

   $$\sin^3 a=\frac12\sin a-\frac12\sin a\cos 2a.$$

   Используем формулу произведения:
   $$\sin a\cos 2a=\frac{\sin 3a+\sin(-a)}{2}=\frac{\sin 3a-\sin a}{2}.$$

   Тогда
   $$\sin^3 a=\frac12\sin a-\frac12\cdot \frac{\sin 3a-\sin a}{2}=\frac34\sin a-\frac14\sin 3a.$$

4. $$4\cos^4 a=(2\cos^2 a)^2=(1+\cos 2a)^2.$$

   $$\begin{aligned} (1+\cos 2a)^2&=1+2\cos 2a+\cos^2 2a \\ &=1+2\cos 2a+\frac{1+\cos 4a}{2} \\ &=\frac32+2\cos 2a+\frac12\cos 4a. \end{aligned}$$

Ответ

1) $$1+\sin 2a$$;
2) $$2\cos x-\cos 2x-1$$;
3) $$\frac34\sin a-\frac14\sin 3a$$;
4) $$\frac32+2\cos 2a+\frac12\cos 4a$$.