Упр.1108 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1108. 1) sinl0°sin20°;
2) sin pi/4*cos pi/6
3) cos35°sin25°;
4) cos15°cos5°;
5) sin(x + a)cos(x-a);
6) cos(x + a)cos(x-a).

1. Используем формулу произведения в сумму:

   $$\sin A \sin B=\frac{\cos(A-B)-\cos(A+B)}{2}$$

   Тогда

   $$\sin 10^\circ \sin 20^\circ=\frac{\cos(20^\circ-10^\circ)-\cos(20^\circ+10^\circ)}{2}=\frac{1}{2}(\cos 10^\circ-\cos 30^\circ).$$

2. По формуле

   $$\sin A \cos B=\frac{\sin(A+B)+\sin(A-B)}{2}$$

   получаем

   $$\sin \frac{\pi}{4}\cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)}{2}=\frac{1}{2}\left(\sin \frac{5\pi}{12}+\sin \frac{\pi}{12}\right).$$

3. Используем формулу

   $$\cos A \sin B=\frac{\sin(A+B)-\sin(A-B)}{2}$$

   Тогда

   $$\cos 35^\circ \sin 25^\circ=\frac{\sin(25^\circ+35^\circ)-\sin(35^\circ-25^\circ)}{2}=\frac{1}{2}(\sin 60^\circ-\sin 10^\circ).$$

4. По формуле

   $$\cos A \cos B=\frac{\cos(A+B)+\cos(A-B)}{2}$$

   имеем

   $$\cos 15^\circ \cos 5^\circ=\frac{\cos(15^\circ+5^\circ)+\cos(15^\circ-5^\circ)}{2}=\frac{1}{2}(\cos 20^\circ+\cos 10^\circ).$$

5. Применим формулу произведения в сумму:

   $$\sin A \cos B=\frac{\sin(A+B)+\sin(A-B)}{2}$$

   Тогда

   $$\sin(x+a)\cos(x-a)=\frac{\sin\big((x+a)+(x-a)\big)+\sin\big((x+a)-(x-a)\big)}{2}=\frac{1}{2}(\sin 2x+\sin 2a).$$

6. Используем формулу

   $$\cos A \cos B=\frac{\cos(A+B)+\cos(A-B)}{2}$$

   Получаем

   $$\cos(x+a)\cos(x-a)=\frac{\cos\big((x+a)+(x-a)\big)+\cos\big((x+a)-(x-a)\big)}{2}=\frac{1}{2}(\cos 2x+\cos 2a).$$

Ответ

1) $$\frac{1}{2}(\cos 10^\circ-\cos 30^\circ)$$;
2) $$\frac{1}{2}\left(\sin \frac{5\pi}{12}+\sin \frac{\pi}{12}\right)$$;
3) $$\frac{1}{2}(\sin 60^\circ-\sin 10^\circ)$$;
4) $$\frac{1}{2}(\cos 20^\circ+\cos 10^\circ)$$;
5) $$\frac{1}{2}(\sin 2x+\sin 2a)$$;
6) $$\frac{1}{2}(\cos 2x+\cos 2a)$$.