Упр.1107 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: Доказать, что при a + b + у = pi справедливо тождество: *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 1107 1012

Подробный ответ

Пусть $$a+b+\gamma=\pi.$$ Тогда $$\gamma=\pi-(a+b),$$ и потому $$\sin\gamma=\sin(a+b), \qquad \cos\gamma=-\cos(a+b).$$

1) Докажем тождество

$$\sin^2 a\sin 2a+\sin^2 \beta\sin 2\beta+\sin^2 \gamma\sin 2\gamma-\sin 2a\sin 2\beta\sin 2\gamma=2\sin a\sin \beta\sin \gamma.$$

Преобразуем левую часть:

$$ \sin^2 x\sin 2x=\frac{1-\cos 2x}{2}\sin 2x=\frac12\sin 2x-\frac14\sin 4x. $$

Тогда

$$ \begin{aligned} &\sin^2 a\sin 2a+\sin^2 \beta\sin 2\beta+\sin^2 \gamma\sin 2\gamma-\sin 2a\sin 2\beta\sin 2\gamma \\ &=\frac12(\sin 2a+\sin 2\beta+\sin 2\gamma)-\frac14(\sin 4a+\sin 4\beta+\sin 4\gamma) \\ &\quad-\sin 2a\sin 2\beta\sin 2\gamma. \end{aligned} $$

Используем формулы суммы и произведения:

$$ \sin 2a+\sin 2\beta+\sin 2\gamma=4\sin a\sin \beta\sin \gamma, $$

$$ \sin 4a+\sin 4\beta+\sin 4\gamma=-4\sin 2a\sin 2\beta\sin 2\gamma. $$

Подставляя, получаем

$$ \sin^2 a\sin 2a+\sin^2 \beta\sin 2\beta+\sin^2 \gamma\sin 2\gamma-\sin 2a\sin 2\beta\sin 2\gamma =2\sin a\sin \beta\sin \gamma. $$

2) Докажем тождество

$$\cos^2 a\cos 2a+\cos^2 \beta\cos 2\beta+\cos^2 \gamma\cos 2\gamma-\cos 2a\cos 2\beta\cos 2\gamma=-2\cos a\cos \beta\cos \gamma.$$

Преобразуем:

$$ \cos^2 x\cos 2x=\frac{1+\cos 2x}{2}\cos 2x=\frac12\cos 2x+\frac14\cos 4x. $$

Тогда

$$ \begin{aligned} &\cos^2 a\cos 2a+\cos^2 \beta\cos 2\beta+\cos^2 \gamma\cos 2\gamma-\cos 2a\cos 2\beta\cos 2\gamma \\ &=\frac12(\cos 2a+\cos 2\beta+\cos 2\gamma)+\frac14(\cos 4a+\cos 4\beta+\cos 4\gamma) \\ &\quad-\cos 2a\cos 2\beta\cos 2\gamma. \end{aligned} $$

По формулам приведения и преобразования произведений получаем

$$ \cos 2a+\cos 2\beta+\cos 2\gamma=-4\cos a\cos \beta\cos \gamma, $$

$$ \cos 4a+\cos 4\beta+\cos 4\gamma=4\cos 2a\cos 2\beta\cos 2\gamma. $$

Следовательно,

$$ \cos^2 a\cos 2a+\cos^2 \beta\cos 2\beta+\cos^2 \gamma\cos 2\gamma-\cos 2a\cos 2\beta\cos 2\gamma =-2\cos a\cos \beta\cos \gamma. $$

3) Докажем тождество

$$\cos^2 x\cos 2x=\frac12\cos 2x+\frac14\cos 4x.$$

Действительно,

$$ \cos^2 x\cos 2x=\frac{1+\cos 2x}{2}\cos 2x=\frac12\cos 2x+\frac12\cos^2 2x, $$

$$ \cos^2 2x=\frac{1+\cos 4x}{2}. $$

Тогда

$$ \cos^2 x\cos 2x=\frac12\cos 2x+\frac14\cos 4x. $$