Упр.1105 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

1)

$$ \frac{\sin a+\sin 3a+\sin 5a+\sin 7a}{\cos a+\cos 3a+\cos 5a+\cos 7a} $$

Сгруппируем слагаемые:
$$ \frac{(\sin a+\sin 7a)+(\sin 3a+\sin 5a)}{(\cos a+\cos 7a)+(\cos 3a+\cos 5a)} $$

Применим формулы суммы синусов и косинусов:
$$ \sin a+\sin 7a=2\sin 4a\cos 3a,\qquad \sin 3a+\sin 5a=2\sin 4a\cos 2a $$
$$ \cos a+\cos 7a=2\cos 4a\cos 3a,\qquad \cos 3a+\cos 5a=2\cos 4a\cos 2a $$

Тогда
$$ \frac{2\sin 4a\cos 3a+2\sin 4a\cos 2a}{2\cos 4a\cos 3a+2\cos 4a\cos 2a} = \frac{2\sin 4a(\cos 3a+\cos 2a)}{2\cos 4a(\cos 3a+\cos 2a)} =\tg 4a $$

Тождество доказано.

2)

$$ \sin a+\sin \beta+\sin \gamma-\sin(a+\beta+\gamma) =4\sin\frac{a+\beta}{2}\sin\frac{\beta+\gamma}{2}\sin\frac{\gamma+a}{2} $$

Преобразуем левую часть:
$$ (\sin a-\sin(a+\beta+\gamma))+(\sin\beta+\sin\gamma) $$

Используем формулы преобразования суммы в произведение:
$$ \sin a-\sin(a+\beta+\gamma) =2\cos\frac{2a+\beta+\gamma}{2}\sin\frac{-\beta-\gamma}{2} =-2\sin\frac{\beta+\gamma}{2}\cos\frac{2a+\beta+\gamma}{2} $$
$$ \sin\beta+\sin\gamma =2\sin\frac{\beta+\gamma}{2}\cos\frac{\beta-\gamma}{2} $$

Тогда
$$ \sin a+\sin \beta+\sin \gamma-\sin(a+\beta+\gamma) $$
$$ =2\sin\frac{\beta+\gamma}{2}\left(\cos\frac{\beta-\gamma}{2}-\cos\frac{2a+\beta+\gamma}{2}\right) $$

Применим формулу разности косинусов:
$$ \cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $$

Получаем:
$$ 2\sin\frac{\beta+\gamma}{2}\left(\cos\frac{\beta-\gamma}{2}-\cos\frac{2a+\beta+\gamma}{2}\right) $$
$$ =4\sin\frac{\beta+\gamma}{2}\sin\frac{a+\beta}{2}\sin\frac{a+\gamma}{2} $$

Тождество доказано.