Упр.1104 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 1 — Vsina;
2) sin^2a-0,75;
3) sinx + v3*cosx;
4) v3*sinx — cosx.

1. $$1-\sqrt{3}\sin a$$
   Представим число $$1$$ как $$\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$$:
   $$ 1-\sqrt{3}\sin a=\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\sin a\right). $$
2. $$ \sin^2 a-0{,}75=\sin^2 a-\frac{3}{4} $$
   Это разность квадратов:
   $$ \sin^2 a-\frac{3}{4}=\left(\sin a-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\sin a+\frac{\sqrt{3}}{2}\right). $$
3. $$ \sin x+\sqrt{3}\cos x $$
   Вынесем общий множитель в виде числа $$2$$:
   $$ \sin x+\sqrt{3}\cos x=2\left(\frac12\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right). $$
   Используем формулу
   $$ \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin x\cos\frac{\pi}{3}+\cos x\sin\frac{\pi}{3} =\frac12\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x. $$
   Тогда
   $$ \sin x+\sqrt{3}\cos x=2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right). $$
4. $$ \sqrt{3}\sin x-\cos x $$
   Аналогично:
   $$ \sqrt{3}\sin x-\cos x=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\frac12\cos x\right). $$
   Так как
   $$ \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\sin x\cos\frac{\pi}{6}-\cos x\sin\frac{\pi}{6} =\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\frac12\cos x, $$
   то
   $$ \sqrt{3}\sin x-\cos x=2\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right). $$

Ответ

1) $$\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\sin a\right)$$;
2) $$\left(\sin a-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\sin a+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$;
3) $$2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$;
4) $$2\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$$.