Упр.1103 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) sina + tga;
2) cos2a + ctg2a;
3) sin пиа — tg пиa;
4) ctg(2a + 30°) — cos (2a + 30°).

1. $$\sin a+\tg a=\sin a+\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{\sin a\cos a+\sin a}{\cos a}=\frac{\sin a(\cos a+1)}{\cos a}.$$

   Используем формулу $$1+\cos a=2\cos^2\frac a2,$$ тогда
   $$\sin a+\tg a=\tg a\,(1+\cos a)=2\tg a\cos^2\frac a2.$$

2. $$\cos 2a+\ctg 2a=\cos 2a+\frac{\cos 2a}{\sin 2a}=\frac{\cos 2a\sin 2a+\cos 2a}{\sin 2a}=\frac{\cos 2a(1+\sin 2a)}{\sin 2a}.$$

   Так как $$1+\sin 2a=(\sin a+\cos a)^2,$$ то
   $$\cos 2a+\ctg 2a=\ctg 2a\,(\sin a+\cos a)^2.$$

   Далее
   $$\sin a+\cos a=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin a+\frac{\sqrt2}{2}\cos a\right)=\sqrt2\left(\cos\frac\pi4\cos a+\sin\frac\pi4\sin a\right),$$
   значит
   $$\sin a+\cos a=\sqrt2\cos\left(\frac\pi4-a\right).$$

   Поэтому
   $$\cos 2a+\ctg 2a=2\cos^2\left(\frac\pi4-a\right)\ctg 2a.$$

3. $$\sin \pi a-\tg \pi a=\sin \pi a-\frac{\sin \pi a}{\cos \pi a}=\frac{\sin \pi a\cos \pi a-\sin \pi a}{\cos \pi a}=\frac{\sin \pi a(\cos \pi a-1)}{\cos \pi a}.$$

   Используем формулу $$\cos x-1=-2\sin^2\frac x2,$$ тогда
   $$\sin \pi a-\tg \pi a=\tg \pi a\,(\cos \pi a-1)=-2\tg \pi a\sin^2\frac{\pi a}{2}.$$

4. $$\ctg(2a+30^\circ)-\cos(2a+30^\circ)=\frac{\cos(2a+30^\circ)}{\sin(2a+30^\circ)}-\cos(2a+30^\circ).$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\ctg(2a+30^\circ)-\cos(2a+30^\circ)=\frac{\cos(2a+30^\circ)\bigl(1-\sin(2a+30^\circ)\bigr)}{\sin(2a+30^\circ)}.$$

   Так как
   $$1-\sin x=\left(\sin\frac x2-\cos\frac x2\right)^2,$$
   то при $$x=2a+30^\circ$$ получаем
   $$1-\sin(2a+30^\circ)=\left(\sin(a+15^\circ)-\cos(a+15^\circ)\right)^2.$$

   Следовательно,
   $$\ctg(2a+30^\circ)-\cos(2a+30^\circ)=\ctg(2a+30^\circ)\left(\sin(a+15^\circ)-\cos(a+15^\circ)\right)^2.$$

   Далее
   $$\sin(a+15^\circ)-\cos(a+15^\circ)=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin(a+15^\circ)-\frac{\sqrt2}{2}\cos(a+15^\circ)\right),$$
   значит
   $$\left(\sin(a+15^\circ)-\cos(a+15^\circ)\right)^2=2\sin^2(30^\circ-a).$$

   Тогда
   $$\ctg(2a+30^\circ)-\cos(2a+30^\circ)=2\ctg(2a+30^\circ)\sin^2(30^\circ-a).$$

Ответ

$$1)\;2\tg a\cos^2\frac a2;\quad 2)\;2\cos^2\left(\frac\pi4-a\right)\ctg 2a;\quad 3)\;-2\tg \pi a\sin^2\frac{\pi a}{2};\quad 4)\;2\ctg(2a+30^\circ)\sin^2(30^\circ-a).$$