Упр.1102 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 1-cosa + sina;
2) 1-2cosa + cos2a;
3) 1 + sina — cosa — tga;
4) 1 + sina + cosa + tga.

1. $$1-\cos a+\sin a=\left(\cos^2\frac a2+\sin^2\frac a2\right)-\left(\cos^2\frac a2-\sin^2\frac a2\right)+2\sin\frac a2\cos\frac a2$$

   $$=2\sin^2\frac a2+2\sin\frac a2\cos\frac a2=2\sin\frac a2\left(\sin\frac a2+\cos\frac a2\right)$$

   $$=2\sin\frac a2\cdot 2\sin\left(\frac a2+\frac\pi4\right)\cos\left(-\frac\pi4\right)=2\sqrt2\,\sin\frac a2\sin\left(\frac a2+\frac\pi4\right)$$

2. $$1-2\cos a+\cos 2a=1-2\cos a+\left(2\cos^2 a-1\right)$$

   $$=2\cos^2 a-2\cos a=2\cos a(\cos a-1)=-2\cos a(1-\cos a)$$

   $$=-2\cos a\cdot 2\sin^2\frac a2=-4\cos a\sin^2\frac a2$$

3. $$1+\sin a-\cos a-\tg a=\frac{\cos a+\sin a\cos a-\cos^2 a-\sin a}{\cos a}$$

   $$=\frac{\cos a(1-\cos a)-\sin a(1-\cos a)}{\cos a}$$

   $$=\frac{(\cos a-\sin a)(1-\cos a)}{\cos a}=(1-\tg a)(1-\cos a)$$

4. $$1+\sin a+\cos a+\tg a=\frac{\cos a+\sin a\cos a+\cos^2 a+\sin a}{\cos a}$$

   $$=\frac{\cos a(1+\cos a)+\sin a(1+\cos a)}{\cos a}$$

   $$=\frac{(\cos a+\sin a)(1+\cos a)}{\cos a}=(1+\tg a)(1+\cos a)$$

Ответ

$$1)\;2\sqrt2\,\sin\frac a2\sin\left(\frac a2+\frac\pi4\right);$$
$$2)\;-4\cos a\sin^2\frac a2;$$
$$3)\;(1-\tg a)(1-\cos a);$$
$$4)\;(1+\tg a)(1+\cos a).$$