Упр.1100 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) cos 22° + cos 24° + cos 26° + cos 28°;
2) cos pi/12+cos pi/4+cos 5pi/6

Подробный ответ

1) Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos \alpha+\cos \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}.$$

Тогда

$$ \cos 22^\circ+\cos 24^\circ+\cos 26^\circ+\cos 28^\circ =2\cos 23^\circ\cos 1^\circ+2\cos 27^\circ\cos 1^\circ $$

$$ =2\cos 1^\circ(\cos 23^\circ+\cos 27^\circ) =2\cos 1^\circ\cdot 2\cos 25^\circ\cos 2^\circ. $$

Следовательно,

$$\cos 22^\circ+\cos 24^\circ+\cos 26^\circ+\cos 28^\circ=4\cos 1^\circ\cos 2^\circ\cos 25^\circ.$$

2) Сначала преобразуем сумму первых двух косинусов:

$$ \cos \frac{\pi}{12}+\cos \frac{\pi}{4} =2\cos \frac{\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}}{2}\cos \frac{\frac{\pi}{12}-\frac{\pi}{4}}{2} =2\cos \frac{\pi}{6}\cos\left(-\frac{\pi}{12}\right). $$

Так как $$\cos(-x)=\cos x,$$ то

$$ \cos \frac{\pi}{12}+\cos \frac{\pi}{4} =2\cos \frac{\pi}{6}\cos \frac{\pi}{12}. $$

Тогда

$$ \cos \frac{\pi}{12}+\cos \frac{\pi}{4}+\cos \frac{5\pi}{6} =2\cos \frac{\pi}{6}\cos \frac{\pi}{12}+\cos \frac{5\pi}{6}. $$

Подставим $$\cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ и $$\cos \frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}:$$

$$ = \sqrt{3}\cos \frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\left(\cos \frac{\pi}{12}-\frac{1}{2}\right). $$

Так как $$\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi}{3},$$ получаем

$$ \sqrt{3}\left(\cos \frac{\pi}{12}-\cos \frac{\pi}{3}\right). $$

Применим формулу разности косинусов:

$$ \cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}. $$

Тогда

$$ \sqrt{3}\left(\cos \frac{\pi}{12}-\cos \frac{\pi}{3}\right) =-2\sqrt{3}\sin \frac{\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{3}}{2}\sin \frac{\frac{\pi}{12}-\frac{\pi}{3}}{2}. $$

$$ =-2\sqrt{3}\sin \frac{5\pi}{24}\sin\left(-\frac{\pi}{8}\right) =2\sqrt{3}\sin \frac{5\pi}{24}\sin \frac{\pi}{8}. $$