Упр.1099 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. $$\cos^4 a-\sin^4 a+\sin 2a=\sqrt2\cos\left(2a-\frac{\pi}{4}\right).$$

   Преобразуем левую часть:
   $$\cos^4 a-\sin^4 a=(\cos^2 a-\sin^2 a)(\cos^2 a+\sin^2 a)=\cos 2a.$$
   Тогда
   $$\cos 2a+\sin 2a.$$
   Используем формулу
   $$\cos x+\sin x=\sqrt2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$
   При $$x=2a$$ получаем
   $$\cos 2a+\sin 2a=\sqrt2\cos\left(2a-\frac{\pi}{4}\right).$$
   Тождество доказано.

2. $$\cos a+\cos\left(\frac{2\pi}{3}+a\right)+\cos\left(\frac{2\pi}{3}-a\right)=0.$$

   Применим формулу суммы косинусов:
   $$\cos\left(\frac{2\pi}{3}+a\right)+\cos\left(\frac{2\pi}{3}-a\right)=2\cos\frac{2\pi}{3}\cos a.$$
   Тогда
   $$\cos a+2\cos\frac{2\pi}{3}\cos a=\cos a+2\cdot\left(-\frac12\right)\cos a=\cos a-\cos a=0.$$
   Тождество доказано.

3. $$\frac{\sin 2a+\sin 5a-\sin 3a}{\cos a+1-2\sin^2 2a}=2\sin a.$$

   Преобразуем числитель:
   $$\sin 2a+\sin 5a=2\sin\frac{7a}{2}\cos\frac{3a}{2},$$
   но удобнее сразу сгруппировать:
   $$\sin 5a-\sin 3a=2\cos 4a\sin a.$$
   Тогда
   $$\sin 2a+\sin 5a-\sin 3a=2\sin a\cos a+2\sin a\cos 4a=2\sin a(\cos a+\cos 4a).$$
   Знаменатель:
   $$\cos a+1-2\sin^2 2a=\cos a+1-(1-\cos 4a)=\cos a+\cos 4a.$$
   Получаем
   $$\frac{2\sin a(\cos a+\cos 4a)}{\cos a+\cos 4a}=2\sin a.$$
   Тождество доказано.

Ответ

Все три тождества верны.