Упр.1098 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) 2(cosa+cos3a)/(2sin2a+sin4a)
2) (1+sina-cos2a-sin3a)/(2sin^2 a+sina-1)

Подробный ответ

1) $$\frac{2(\cos a+\cos 3a)}{2\sin 2a+\sin 4a}$$

Используем формулы суммы в произведение:

$$\cos a+\cos 3a=2\cos 2a\cos a,$$
$$2\sin 2a+\sin 4a=2\sin 2a+2\sin 2a\cos 2a=2\sin 2a(1+\cos 2a).$$

Тогда

$$\frac{2(\cos a+\cos 3a)}{2\sin 2a+\sin 4a} =\frac{4\cos 2a\cos a}{2\sin 2a(1+\cos 2a)} =\frac{2\cos 2a\cos a}{\sin 2a(1+\cos 2a)}.$$

Так как $$1+\cos 2a=2\cos^2 a$$ и $$\sin 2a=2\sin a\cos a,$$ получаем

$$\frac{2\cos 2a\cos a}{\sin 2a(1+\cos 2a)} =\frac{2\cos 2a\cos a}{2\sin a\cos a\cdot 2\cos^2 a} =\frac{\cos 2a}{2\sin a\cos^2 a}.$$

Удобнее преобразовать исходное выражение иначе:

$$\cos a+\cos 3a=2\cos 2a\cos a,$$
$$2\sin 2a+\sin 4a=2\sin 2a+2\sin 2a\cos 2a=2\sin 2a(1+\cos 2a),$$
$$1+\cos 2a=2\cos^2 a,\quad \sin 2a=2\sin a\cos a.$$

Тогда

$$\frac{2(\cos a+\cos 3a)}{2\sin 2a+\sin 4a} =\frac{4\cos 2a\cos a}{4\sin a\cos a\cos^2 a} =\frac{\cos 2a}{\sin a\cos^2 a} =\frac{\ctg 2a}{\cos a}.$$

2) $$\frac{1+\sin a-\cos 2a-\sin 3a}{2\sin^2 a+\sin a-1}$$

Преобразуем числитель и знаменатель:

$$1+\sin a-\cos 2a-\sin 3a$$
$$=(\cos^2 a+\sin^2 a)-(\cos^2 a-\sin^2 a)+2\sin\frac{a-3a}{2}\cos\frac{a+3a}{2}$$
$$=2\sin^2 a-2\sin a\cos 2a.$$

Знаменатель:

$$2\sin^2 a+\sin a-1=\sin^2 a+\sin a-(\cos^2 a)=\sin a-\cos 2a.$$

Тогда

$$\frac{1+\sin a-\cos 2a-\sin 3a}{2\sin^2 a+\sin a-1} =\frac{2\sin^2 a-2\sin a\cos 2a}{\sin a-\cos 2a}$$
$$=\frac{2\sin a(\sin a-\cos 2a)}{\sin a-\cos 2a}=2\sin a.$$