Упр.1097 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) (sina+sin3a)/(cosa+cos3a)=tg2a
2) (sin2a+sin4a)/(cos2a-cos4a)=ctga

1. Преобразуем числитель и знаменатель по формулам суммы в произведение:

   $$\sin a+\sin 3a=2\sin\frac{a+3a}{2}\cos\frac{a-3a}{2}=2\sin 2a\cos a,$$

   $$\cos a+\cos 3a=2\cos\frac{a+3a}{2}\cos\frac{a-3a}{2}=2\cos 2a\cos a.$$

   Тогда
   $$\frac{\sin a+\sin 3a}{\cos a+\cos 3a}=\frac{2\sin 2a\cos a}{2\cos 2a\cos a}=\frac{\sin 2a}{\cos 2a}=\tg 2a.$$

2. Аналогично:

   $$\sin 2a+\sin 4a=2\sin\frac{2a+4a}{2}\cos\frac{2a-4a}{2}=2\sin 3a\cos(-a)=2\sin 3a\cos a,$$

   $$\cos 2a-\cos 4a=-2\sin\frac{2a+4a}{2}\sin\frac{2a-4a}{2}=-2\sin 3a\sin(-a)=2\sin 3a\sin a.$$

   Тогда
   $$\frac{\sin 2a+\sin 4a}{\cos 2a-\cos 4a}=\frac{2\sin 3a\cos a}{2\sin 3a\sin a}=\frac{\cos a}{\sin a}=\ctg a.$$

Ответ

1) $$\frac{\sin a+\sin 3a}{\cos a+\cos 3a}=\tg 2a$$

2) $$\frac{\sin 2a+\sin 4a}{\cos 2a-\cos 4a}=\ctg a$$