Упр.1093 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 1093. Доказать, что вычисление значений синуса, косинуса и тангенса любого угла можно свести к вычислению их значений для угла, заключённого в промежутке от О до пи/4 . *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 1093 1012

Пусть $$a$$ — произвольный угол. Представим его в виде

$$a=\pi n+\beta,\quad n\in \mathbb Z,\quad \beta\in[0;\pi].$$

Далее положим

$$\beta=\frac{\pi}{2}\pm \gamma,\quad \gamma\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right],$$

а затем

$$\gamma=2\varphi,\quad \varphi\in\left[0;\frac{\pi}{4}\right].$$

Тогда:

1) если $$n=2k$$, то

$$\sin a=\sin(2\pi k+\beta)=\sin\beta,$$

$$\cos a=\cos(2\pi k+\beta)=\cos\beta.$$

2) если $$n=2k+1$$, то

$$\sin a=\sin(2\pi k+\pi+\beta)=-\sin\beta,$$

$$\cos a=\cos(2\pi k+\pi+\beta)=-\cos\beta.$$

Значит, в любом случае

$$\sin a=\pm \sin\beta=\pm \sin\left(\frac{\pi}{2}\pm \gamma\right)=\pm \cos\gamma,$$

$$\cos a=\pm \cos\beta=\pm \cos\left(\frac{\pi}{2}\pm \gamma\right)=\mp \sin\gamma.$$

Так как $$\gamma=2\varphi$$, где $$\varphi\in\left[0;\frac{\pi}{4}\right]$$, то

$$\cos\gamma=\cos 2\varphi=\cos^2\varphi-\sin^2\varphi,$$

$$\sin\gamma=\sin 2\varphi=2\sin\varphi\cos\varphi.$$

Кроме того,

$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a},\qquad \ctg a=\frac{\cos a}{\sin a}.$$

Следовательно, вычисление значений $$\sin a$$, $$\cos a$$ и $$\tg a$$ любого угла сводится к вычислению значений тригонометрических функций для угла, заключённого в промежутке $$\left[0;\frac{\pi}{4}\right].$$

Ответ

Доказано, что вычисление значений $$\sin a$$, $$\cos a$$ и $$\tg a$$ любого угла можно свести к вычислению их значений для угла из промежутка $$\left[0;\frac{\pi}{4}\right].$$