Упр.1089 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) sin (A+B)/2 = cos C/2
2) tg(A/2+B/2)=ctg C/2
3) cos(A+B)=-cosC

Так как $$A$$, $$B$$ и $$C$$ — углы треугольника, то

$$A+B+C=180^\circ,$$

откуда

$$A+B=180^\circ-C.$$

1. $$\sin \frac{A+B}{2}=\sin \frac{180^\circ-C}{2}=\sin \left(90^\circ-\frac{C}{2}\right)=\cos \frac{C}{2}.$$

   Тождество доказано.

2. $$\tg \left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)=\tg \frac{A+B}{2}=\tg \frac{180^\circ-C}{2}=\tg \left(90^\circ-\frac{C}{2}\right)=\ctg \frac{C}{2}.$$

   Тождество доказано.

3. $$\cos (A+B)=\cos (180^\circ-C)=-\cos C.$$

   Тождество доказано.

Ответ

$$\sin \frac{A+B}{2}=\cos \frac{C}{2}, \qquad \tg \left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)=\ctg \frac{C}{2}, \qquad \cos (A+B)=-\cos C.$$