Упр.1087 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

$$ \left(\frac{\tg^2 590^\circ}{\cos^2 320^\circ}+\frac{\sin 111^\circ}{\cos 1599^\circ}\right) \left(\frac{\cos 279^\circ}{\sin 549^\circ}+\frac{\ctg^2 950^\circ}{\sin^2 400^\circ}\right) $$

Приведём углы к острым:

$$ \tg^2 590^\circ=\tg^2 50^\circ,\quad \cos^2 320^\circ=\cos^2 40^\circ, $$
$$ \sin 111^\circ=\sin(90^\circ+21^\circ)=\cos 21^\circ,\quad \cos 1599^\circ=\cos(1620^\circ-21^\circ)=\cos 21^\circ, $$
$$ \cos 279^\circ=\cos(270^\circ+9^\circ)=\sin 9^\circ,\quad \sin 549^\circ=\sin(540^\circ+9^\circ)=-\sin 9^\circ, $$
$$ \ctg^2 950^\circ=\ctg^2 50^\circ,\quad \sin^2 400^\circ=\sin^2 40^\circ. $$

Тогда

$$ \left(\frac{\tg^2 50^\circ}{\cos^2 40^\circ}+1\right) \left(-1+\frac{\ctg^2 50^\circ}{\sin^2 40^\circ}\right). $$

Используем формулы $$\tg^2 \alpha=\dfrac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$$ и $$\ctg^2 \alpha=\dfrac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$$:

$$ \frac{\tg^2 50^\circ}{\cos^2 40^\circ} = \frac{\sin^2 50^\circ}{\cos^2 50^\circ\cdot \cos^2 40^\circ} = \frac{\sin^2 50^\circ}{\cos^2 50^\circ\cdot \sin^2 50^\circ} = \frac{1}{\cos^2 50^\circ}, $$
$$ \frac{\ctg^2 50^\circ}{\sin^2 40^\circ} = \frac{\cos^2 50^\circ}{\sin^2 50^\circ\cdot \sin^2 40^\circ} = \frac{\cos^2 50^\circ}{\sin^2 50^\circ\cdot \cos^2 50^\circ} = \frac{1}{\sin^2 50^\circ}. $$

Значит,

$$ \left(\frac{1}{\cos^2 50^\circ}-1\right)\left(\frac{1}{\sin^2 50^\circ}-1\right) = \frac{1-\cos^2 50^\circ}{\cos^2 50^\circ}\cdot \frac{1-\sin^2 50^\circ}{\sin^2 50^\circ}. $$

Так как $$1-\cos^2 50^\circ=\sin^2 50^\circ$$ и $$1-\sin^2 50^\circ=\cos^2 50^\circ$$, получаем:

$$ \frac{\sin^2 50^\circ}{\cos^2 50^\circ}\cdot \frac{\cos^2 50^\circ}{\sin^2 50^\circ}=1. $$

Ответ

$$1$$