Упр.1085 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1085. 1) sin(пи/4 + a) — cos(пи/4 -a) = 0;
2) cos(пи/4 -a) — sin(пи/4 + a) = 0;

1. $$\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=0.$$

   Преобразуем косинус:
   $$\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}-a\right)\right)=\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right).$$

   Тогда
   $$ \sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)-\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=0. $$

   Тождество доказано.

2. $$\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)-\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=0.$$

   Используем формулу
   $$\sin x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right):$$
   $$ \sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+a\right)\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right). $$

   Тогда
   $$ \cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=0. $$

   Тождество доказано.

3. $$\frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2}-a\right)\cdot \ctg\left(\frac{\pi}{2}+a\right)}{\tg(\pi+a)\cdot \tg\left(a-\frac{3\pi}{2}\right)}=-\sin a.$$

   Преобразуем выражения:
   $$ \sin\left(\frac{3\pi}{2}-a\right)=-\cos a,\qquad \ctg\left(\frac{\pi}{2}+a\right)=-\tg a, $$
   $$ \tg(\pi+a)=\tg a,\qquad \tg\left(a-\frac{3\pi}{2}\right)=\tg\left(a-\frac{\pi}{2}\right)=-\ctg a. $$

   Подставим:
   $$ \frac{(-\cos a)\cdot(-\tg a)}{\tg a\cdot(-\ctg a)} = \frac{\cos a\cdot \tg a}{-\tg a\cdot \ctg a} = \frac{\cos a\cdot \tg a}{-1}. $$

   Так как $$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a},$$ получаем
   $$ -\cos a\cdot \tg a=-\cos a\cdot \frac{\sin a}{\cos a}=-\sin a. $$

   Тождество доказано.

Ответ

1) $$0$$; 2) $$0$$; 3) $$-\sin a.$$