Упр.1076 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1) Преобразуем числитель и знаменатель:

$$ \frac{1+\cos a+\cos 2a+\cos 3a}{\sin 2a+2\sin a\cos 2a} = \frac{1+\cos a+(2\cos^2 a-1)+\cos 3a}{2\sin a\cos a+2\sin a\cos 2a} $$

$$ = \frac{\cos a+2\cos^2 a+\cos 3a}{2\sin a(\cos a+\cos 2a)} $$

Используем формулу $$\cos 3a=4\cos^3 a-3\cos a$$:

$$ \frac{\cos a+2\cos^2 a+4\cos^3 a-3\cos a}{2\sin a(\cos a+\cos 2a)} = \frac{2\cos^2 a+4\cos^3 a-2\cos a}{2\sin a(\cos a+\cos 2a)} $$

$$ = \frac{2\cos a(\cos a+2\cos^2 a-1)}{2\sin a(\cos a+\cos 2a)} $$

Так как $$\cos 2a=2\cos^2 a-1$$, то

$$ \cos a+2\cos^2 a-1=\cos a+\cos 2a. $$

Тогда

$$ \frac{2\cos a(\cos a+\cos 2a)}{2\sin a(\cos a+\cos 2a)}=\frac{\cos a}{\sin a}=\ctg a. $$

Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть:

$$ \frac{1-\sin a-\cos 2a+\sin 3a}{\sin 2a+2\cos a\cos 2a} = \frac{1-\sin a-(1-2\sin^2 a)+\sin 3a}{2\sin a\cos a+2\cos a\cos 2a} $$

$$ = \frac{2\sin^2 a-\sin a+\sin 3a}{2\cos a(\sin a+\cos 2a)}. $$

Используем формулу $$\sin 3a=3\sin a-4\sin^3 a$$:

$$ \frac{2\sin^2 a-\sin a+3\sin a-4\sin^3 a}{2\cos a(\sin a+\cos 2a)} = \frac{2\sin^2 a+2\sin a-4\sin^3 a}{2\cos a(\sin a+\cos 2a)} $$

$$ = \frac{2\sin a(1+\sin a-2\sin^2 a)}{2\cos a(\sin a+\cos 2a)}. $$

Так как $$\cos 2a=1-2\sin^2 a$$, то

$$ 1+\sin a-2\sin^2 a=\sin a+\cos 2a. $$

Следовательно,

$$ \frac{2\sin a(\sin a+\cos 2a)}{2\cos a(\sin a+\cos 2a)}=\frac{\sin a}{\cos a}=\tg a. $$

Тождество доказано.

Ответ

$$ 1)\ \frac{1+\cos a+\cos 2a+\cos 3a}{\sin 2a+2\sin a\cos 2a}=\ctg a; \qquad 2)\ \frac{1-\sin a-\cos 2a+\sin 3a}{\sin 2a+2\cos a\cos 2a}=\tg a. $$