Упр.1074 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 1-cosx=2sin x/2
2) 1+cosx=2cos x/2
3) 1+cos x/2=2sin (x/4-3pi/2)
4) 1+cos8x=2cos4x
5) 2sin^2(x/2)+1/2sin2x=1
6) 2cos^2x-1/2sin4x=1

1. $$1-\cos x=2\sin \frac{x}{2}$$
   $$1-\cos x=2\sin^2 \frac{x}{2}$$
   $$2\sin^2 \frac{x}{2}=2\sin \frac{x}{2}$$
   $$2\sin \frac{x}{2}\left(\sin \frac{x}{2}-1\right)=0$$
   Отсюда:
   $$\sin \frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \sin \frac{x}{2}=1$$
   $$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+4\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$
2. $$1+\cos x=2\cos \frac{x}{2}$$
   $$1+\cos x=2\cos^2 \frac{x}{2}$$
   $$2\cos^2 \frac{x}{2}=2\cos \frac{x}{2}$$
   $$2\cos \frac{x}{2}\left(\cos \frac{x}{2}-1\right)=0$$
   Отсюда:
   $$\cos \frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{x}{2}=1$$
   $$x=\pi+2\pi n \quad \text{или} \quad x=4\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$
3. $$1+\cos \frac{x}{2}=2\sin \left(\frac{x}{4}-\frac{3\pi}{2}\right)$$
   $$\sin \left(\frac{x}{4}-\frac{3\pi}{2}\right)=\cos \frac{x}{4}$$
   Тогда
   $$1+\cos \frac{x}{2}=2\cos \frac{x}{4}$$
   $$1+2\cos^2 \frac{x}{4}-1=2\cos \frac{x}{4}$$
   $$2\cos^2 \frac{x}{4}-2\cos \frac{x}{4}=0$$
   $$2\cos \frac{x}{4}\left(\cos \frac{x}{4}-1\right)=0$$
   Отсюда:
   $$\cos \frac{x}{4}=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{x}{4}=1$$
   $$x=2\pi+4\pi n \quad \text{или} \quad x=8\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$
4. $$1+\cos 8x=2\cos 4x$$
   $$1+2\cos^2 4x-1=2\cos 4x$$
   $$2\cos^2 4x-2\cos 4x=0$$
   $$2\cos 4x\left(\cos 4x-1\right)=0$$
   Отсюда:
   $$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=1$$
   $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb{Z}$$
5. $$2\sin^2 \frac{x}{2}+\frac{1}{2}\sin 2x=1$$
   $$1-\cos x+\sin x\cos x=1$$
   $$-\cos x+\sin x\cos x=0$$
   $$\cos x(\sin x-1)=0$$
   Отсюда:
   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=1$$
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$
6. $$2\cos^2 x-\frac{1}{2}\sin 4x=1$$
   $$1+\cos 2x-\sin 2x\cos 2x=1$$
   $$\cos 2x-\sin 2x\cos 2x=0$$
   $$\cos 2x(1-\sin 2x)=0$$
   Отсюда:
   $$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=1$$
   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb{Z}$$

Ответ

1) $$x=2\pi n,\ \pi+4\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$
2) $$x=\pi+2\pi n,\ 4\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$
3) $$x=2\pi+4\pi n,\ 8\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$
4) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ \frac{\pi n}{2},\ n\in \mathbb{Z}$$
5) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$
6) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in \mathbb{Z}$$