Упр.1073 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

tg2a/(tg4a-tg2a)

Преобразуем выражение:

$$\frac{\tg 2a}{\tg 4a-\tg 2a}$$

Используем формулу

$$\tg 4a=\frac{2\tg 2a}{1-\tg^2 2a}.$$

Тогда

$$ \frac{\tg 2a}{\tg 4a-\tg 2a} = \frac{\tg 2a}{\frac{2\tg 2a}{1-\tg^2 2a}-\tg 2a} = \frac{\tg 2a(1-\tg^2 2a)}{2\tg 2a-\tg 2a(1-\tg^2 2a)}. $$

Упростим знаменатель:

$$ 2\tg 2a-\tg 2a(1-\tg^2 2a)=\tg 2a+\tg^3 2a. $$

Получаем

$$ \frac{\tg 2a(1-\tg^2 2a)}{\tg 2a+\tg^3 2a} = \frac{1-\tg^2 2a}{1+\tg^2 2a}. $$

Переходим к синусам и косинусам:

$$ \frac{1-\tg^2 2a}{1+\tg^2 2a} = \frac{\cos^2 2a-\sin^2 2a}{\cos^2 2a+\sin^2 2a} = \cos 4a. $$

Ответ

$$\cos 4a$$