Упр.1072 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

v(1+sina)-v(1-sina)=2sin a/2

Используем формулы половинного угла:

$$ 1+\sin a=\sin^2\frac a2+\cos^2\frac a2+2\sin\frac a2\cos\frac a2=\left(\sin\frac a2+\cos\frac a2\right)^2, $$
$$ 1-\sin a=\sin^2\frac a2+\cos^2\frac a2-2\sin\frac a2\cos\frac a2=\left(\cos\frac a2-\sin\frac a2\right)^2. $$

Так как $$0<a<\frac{\pi}{2},$$ то $$0<\frac a2<\frac{\pi}{4}$$ и потому $$\cos\frac a2>\sin\frac a2.$$ Следовательно,

$$ \sqrt{1+\sin a}=\sin\frac a2+\cos\frac a2, $$
$$ \sqrt{1-\sin a}=\cos\frac a2-\sin\frac a2. $$

Тогда

$$ \sqrt{1+\sin a}-\sqrt{1-\sin a} =\left(\sin\frac a2+\cos\frac a2\right)-\left(\cos\frac a2-\sin\frac a2\right) =2\sin\frac a2. $$

Ответ

$$ \sqrt{1+\sin a}-\sqrt{1-\sin a}=2\sin\frac a2. $$