Упр.1072 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Доказать, что если $$0

Используем формулы половинного угла:

$$1+\sin a=\sin^2\frac a2+\cos^2\frac a2+2\sin\frac a2\cos\frac a2=\left(\sin\frac a2+\cos\frac a2\right)^2,$$
$$1-\sin a=\sin^2\frac a2+\cos^2\frac a2-2\sin\frac a2\cos\frac a2=\left(\cos\frac a2-\sin\frac a2\right)^2.$$

Так как $$0<a<\frac{\pi}{2},$$ то $$0<\frac a2<\frac{\pi}{4}$$ и потому $$\cos\frac a2>\sin\frac a2.$$ Следовательно,

$$\sqrt{1+\sin a}=\sin\frac a2+\cos\frac a2,$$
$$\sqrt{1-\sin a}=\cos\frac a2-\sin\frac a2.$$

Тогда

$$\sqrt{1+\sin a}-\sqrt{1-\sin a} =\left(\sin\frac a2+\cos\frac a2\right)-\left(\cos\frac a2-\sin\frac a2\right) =2\sin\frac a2.$$

Ответ

$$\sqrt{1+\sin a}-\sqrt{1-\sin a}=2\sin\frac a2.$$