Упр.1071 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 2sin^2(pi/4-a)+sin2a
2) 2cos^2(pi/4-a)-sin2a

1) Преобразуем выражение:

$$2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right)+\sin 2a$$

Используем формулу:

$$\sin\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=\sin\frac{\pi}{4}\cos a-\cos\frac{\pi}{4}\sin a=\frac{\sqrt2}{2}\cos a-\frac{\sqrt2}{2}\sin a$$

Тогда

$$ 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right)+\sin 2a =2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos a-\frac{\sqrt2}{2}\sin a\right)^2+\sin 2a $$

$$ =\left(\cos a-\sin a\right)^2+\sin 2a $$

$$ =\cos^2 a-2\sin a\cos a+\sin^2 a+2\sin a\cos a=1 $$

2) Преобразуем выражение:

$$2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right)-\sin 2a$$

Используем формулу:

$$\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=\cos\frac{\pi}{4}\cos a+\sin\frac{\pi}{4}\sin a=\frac{\sqrt2}{2}\cos a+\frac{\sqrt2}{2}\sin a$$

Тогда

$$ 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right)-\sin 2a =2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos a+\frac{\sqrt2}{2}\sin a\right)^2-\sin 2a $$

$$ =\left(\cos a+\sin a\right)^2-\sin 2a $$

$$ =\cos^2 a+2\sin a\cos a+\sin^2 a-2\sin a\cos a=1 $$

Ответ

1) $$1$$

2) $$1$$