Упр.1070 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. $$\frac{1-\cos 2a}{\sin 2a}\cdot \ctg a$$
   Используем формулы:
   $$1-\cos 2a=2\sin^2 a,\qquad \sin 2a=2\sin a\cos a,\qquad \ctg a=\frac{\cos a}{\sin a}.$$
   Тогда
   $$\frac{1-\cos 2a}{\sin 2a}\cdot \ctg a=\frac{2\sin^2 a}{2\sin a\cos a}\cdot \frac{\cos a}{\sin a}=1.$$

2. $$\frac{\sin 2a}{1+\cos 2a}$$
   Подставим формулы:
   $$\sin 2a=2\sin a\cos a,\qquad 1+\cos 2a=2\cos^2 a.$$
   Получаем
   $$\frac{\sin 2a}{1+\cos 2a}=\frac{2\sin a\cos a}{2\cos^2 a}=\frac{\sin a}{\cos a}=\tg a.$$

3. $$\frac{1-2\sin^2 a}{1+\sin 2a}=\frac{1-\tg a}{1+\tg a}.$$
   Преобразуем левую часть:
   $$1-2\sin^2 a=\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a=(\cos a-\sin a)(\cos a+\sin a),$$
   $$1+\sin 2a=1+2\sin a\cos a=(\sin a+\cos a)^2.$$
   Тогда
   $$\frac{1-2\sin^2 a}{1+\sin 2a}=\frac{(\cos a-\sin a)(\cos a+\sin a)}{(\cos a+\sin a)^2}=\frac{\cos a-\sin a}{\cos a+\sin a}.$$
   Делим числитель и знаменатель на $$\cos a$$:
   $$\frac{\cos a-\sin a}{\cos a+\sin a}=\frac{1-\tg a}{1+\tg a}.$$

4. $$\frac{1+\sin 2a}{\cos 2a}=\tg\left(\frac{\pi}{4}+a\right).$$
   Левая часть:
   $$\frac{1+\sin 2a}{\cos 2a}=\frac{1+2\sin a\cos a}{\cos^2 a-\sin^2 a}=\frac{(\sin a+\cos a)^2}{(\cos a-\sin a)(\cos a+\sin a)}=\frac{\cos a+\sin a}{\cos a-\sin a}.$$
   Делим числитель и знаменатель на $$\cos a$$:
   $$\frac{\cos a+\sin a}{\cos a-\sin a}=\frac{1+\tg a}{1-\tg a}.$$
   По формуле
   $$\tg\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\frac{1+\tg a}{1-\tg a},$$
   получаем требуемое равенство.

Ответ

Все тождества доказаны.