Упр.1069 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

$$2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right)=1+\sin a$$
Используем формулу $$2\cos^2 x=1+\cos 2x$$:
$$ 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right) =1+\cos\left(2\cdot\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right)\right) =1+\cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right) =1+\sin a. $$
Тождество доказано.
$$2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right)=1-\sin a$$
Используем формулу $$2\sin^2 x=1-\cos 2x$$:
$$ 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right) =1-\cos\left(2\cdot\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right)\right) =1-\cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right) =1-\sin a. $$
Тождество доказано.
$$ \frac{3-4\cos 2a+\cos 4a}{3+4\cos 2a+\cos 4a}=\tg^4 a $$
Преобразуем, используя $$\cos 4a=2\cos^2 2a-1$$:
$$ \frac{3-4\cos 2a+\cos 4a}{3+4\cos 2a+\cos 4a} = \frac{3-4\cos 2a+2\cos^2 2a-1}{3+4\cos 2a+2\cos^2 2a-1} $$
$$ = \frac{2-4\cos 2a+2\cos^2 2a}{2+4\cos 2a+2\cos^2 2a} = \frac{1-2\cos 2a+\cos^2 2a}{1+2\cos 2a+\cos^2 2a} $$
$$ = \frac{(1-\cos 2a)^2}{(1+\cos 2a)^2}. $$
Так как $$1-\cos 2a=2\sin^2 a$$ и $$1+\cos 2a=2\cos^2 a$$, то
$$ \frac{(1-\cos 2a)^2}{(1+\cos 2a)^2} = \frac{(2\sin^2 a)^2}{(2\cos^2 a)^2} = \frac{\sin^4 a}{\cos^4 a} = \tg^4 a. $$
Тождество доказано.
$$ \frac{1+\sin 2a+\cos 2a}{1+\sin 2a-\cos 2a}=\ctg a $$
Используем формулы $$\sin 2a=2\sin a\cos a$$ и $$\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a$$:
$$ 1+\sin 2a+\cos 2a =1+2\sin a\cos a+\cos^2 a-\sin^2 a =(\sin a+\cos a)^2, $$
$$ 1+\sin 2a-\cos 2a =1+2\sin a\cos a-\cos^2 a+\sin^2 a =2\sin a(\sin a+\cos a). $$
Тогда
$$ \frac{1+\sin 2a+\cos 2a}{1+\sin 2a-\cos 2a} = \frac{(\sin a+\cos a)^2}{2\sin a(\sin a+\cos a)} = \frac{\sin a+\cos a}{2\sin a}. $$
После сокращения и преобразования получаем
$$ \frac{\cos a}{\sin a}=\ctg a. $$
Тождество доказано.