Упр.1067 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) sin 15°;
2) cos 15°;
3) tg22°30′;
4) ctg22°30′

Используем формулы половинного угла:

$$\sin \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}, \qquad \cos \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}}.$$

Также:

$$\tg \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}, \qquad \ctg \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}}.$$

1. $$\sin 15^\circ=\sin \frac{30^\circ}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos 30^\circ}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{3}}.$$

2. $$\cos 15^\circ=\cos \frac{30^\circ}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos 30^\circ}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{3}}.$$

3. $$\tg 22^\circ 30’=\tg \frac{45^\circ}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos 45^\circ}{1+\cos 45^\circ}}=\sqrt{\frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}}.$$

   Упростим:

   $$\tg 22^\circ 30’=\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}=\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}=\sqrt{2}-1.$$

4. $$\ctg 22^\circ 30’=\ctg \frac{45^\circ}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos 45^\circ}{1-\cos 45^\circ}}=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}}.$$

   Упростим:

   $$\ctg 22^\circ 30’=\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}}=\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2}=\sqrt{2}+1.$$

Ответ

$$\sin 15^\circ=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{3}}, \quad \cos 15^\circ=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{3}}, \quad \tg 22^\circ 30’=\sqrt{2}-1, \quad \ctg 22^\circ 30’=\sqrt{2}+1.$$