Упр.1066 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Пусть $$\sin a=\frac{3}{5}$$ и $$\frac{\pi}{2}

Так как $$\sin \alpha=\frac{3}{5}$$ и $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi,$$ то угол $$\alpha$$ лежит во II четверти, значит $$\cos \alpha<0.$$ Найдём косинус:

$$\cos \alpha=-\sqrt{1-\sin^2 \alpha} =-\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2} =-\sqrt{1-\frac{9}{25}} =-\sqrt{\frac{16}{25}} =-\frac{4}{5}.$$

Теперь используем формулы половинного угла.

1) $$\sin \frac{\alpha}{2}$$

Так как $$\frac{\alpha}{2}\in\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right),$$ то $$\sin \frac{\alpha}{2}>0.$$ Тогда

$$\sin \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}} =\sqrt{\frac{1-(-\frac{4}{5})}{2}} =\sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{2}} =\sqrt{\frac{\frac{9}{5}}{2}} =\sqrt{\frac{9}{10}} =\frac{3\sqrt{10}}{10}.$$

2) $$\cos \frac{\alpha}{2}$$

$$\cos \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}} =\sqrt{\frac{1-\frac{4}{5}}{2}} =\sqrt{\frac{\frac{1}{5}}{2}} =\sqrt{\frac{1}{10}} =\frac{\sqrt{10}}{10}.$$

3) $$\tg \frac{\alpha}{2}$$

$$\tg \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}} =\sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{1-\frac{4}{5}}} =\sqrt{\frac{\frac{9}{5}}{\frac{1}{5}}} =\sqrt{9}=3.$$

4) $$\ctg \frac{\alpha}{2}$$

$$\ctg \frac{\alpha}{2}=\frac{1}{\tg \frac{\alpha}{2}}=\frac{1}{3}.$$

Ответ

$$\sin \frac{\alpha}{2}=\frac{3\sqrt{10}}{10},\quad \cos \frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{10}}{10},\quad \tg \frac{\alpha}{2}=3,\quad \ctg \frac{\alpha}{2}=\frac{1}{3}.$$