Упр.1062 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) sin 18° = (v5-1)/4
2) tg^2 36°* tg^2 72°=5

1) Обозначим $$x=\sin 18^\circ.$$ Тогда

$$\cos 54^\circ=\sin 36^\circ,$$

а также

$$\cos 54^\circ=\cos(3\cdot 18^\circ).$$

По формуле тройного угла:

$$\cos 3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha.$$

При $$\alpha=18^\circ$$ получаем

$$4\cos^3 18^\circ-3\cos 18^\circ=\sin 36^\circ=2\sin 18^\circ\cos 18^\circ.$$

Так как $$\cos^2 18^\circ=1-\sin^2 18^\circ,$$ то

$$4(1-\sin^2 18^\circ)-3=2\sin 18^\circ,$$

$$4-4\sin^2 18^\circ-3-2\sin 18^\circ=0,$$

$$4\sin^2 18^\circ+2\sin 18^\circ-1=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=2^2-4\cdot 4\cdot(-1)=20,$$

$$\sin 18^\circ=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{8}=\frac{-1\pm\sqrt5}{4}.$$

Так как $$0<\sin 18^\circ<1,$$ то

$$\sin 18^\circ=\frac{\sqrt5-1}{4}.$$

2) Найдём сначала $$\tan^2 18^\circ.$$ Из пункта 1:

$$\sin^2 18^\circ=\left(\frac{\sqrt5-1}{4}\right)^2=\frac{3-\sqrt5}{8},$$

$$\cos^2 18^\circ=1-\sin^2 18^\circ=\frac{5+\sqrt5}{8}.$$

Тогда

$$\tan^2 18^\circ=\frac{\sin^2 18^\circ}{\cos^2 18^\circ}=\frac{3-\sqrt5}{5+\sqrt5}.$$

Используем формулы:

$$\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha},$$

откуда

$$\tan^2 36^\circ=\frac{4\tan^2 18^\circ}{(1-\tan^2 18^\circ)^2},$$

$$\tan^2 72^\circ=\frac{4\tan^2 36^\circ}{(1-\tan^2 36^\circ)^2}.$$

После подстановки и упрощения получаем:

$$\tan^2 36^\circ=\frac{5-\sqrt5}{3+\sqrt5},$$

$$\tan^2 72^\circ=\frac{5+\sqrt5}{3-\sqrt5}.$$

Тогда

$$\tan^2 36^\circ\cdot\tan^2 72^\circ=\frac{5-\sqrt5}{3+\sqrt5}\cdot\frac{5+\sqrt5}{3-\sqrt5}=\frac{25-5}{9-5}=5.$$

Ответ

$$\sin 18^\circ=\frac{\sqrt5-1}{4},\qquad \tan^2 36^\circ\cdot\tan^2 72^\circ=5.$$