Упр.1061 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) cos пи/5 • cos 2пи/5 = 0,25;
2) 8cos 10° • cos 20° • cos 40° = ctg 10°;
3) 16 cos20° * cos40° • cos60° • cos80° = 1;
4) tga + 2tg2a + 4tg4a + 8tg8a + 16tgl6a + 32ctg32a = ctga;
5) tg(a/2)/cos a = tga — tg a/2;
6) sin3asin^3a + cos3a • cos^3a = cos^3 2a

1. $$\cos \frac{\pi}{5}\cdot \cos \frac{2\pi}{5}$$
   $$=\frac{4\sin \frac{\pi}{5}\cos \frac{\pi}{5}\cos \frac{2\pi}{5}}{4\sin \frac{\pi}{5}}$$
   $$=\frac{2\sin \frac{2\pi}{5}\cos \frac{2\pi}{5}}{4\sin \frac{\pi}{5}}$$
   $$=\frac{\sin \frac{4\pi}{5}}{4\sin \frac{\pi}{5}}$$
   $$=\frac{\sin \left(\pi-\frac{\pi}{5}\right)}{4\sin \frac{\pi}{5}}$$
   $$=\frac{\sin \frac{\pi}{5}}{4\sin \frac{\pi}{5}}=\frac14=0{,}25.$$

2. $$8\cos 10^\circ\cdot \cos 20^\circ\cdot \cos 40^\circ$$
   $$=\frac{8\sin 10^\circ\cos 10^\circ\cdot \cos 20^\circ\cdot \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ}$$
   $$=\frac{4\sin 20^\circ\cdot \cos 20^\circ\cdot \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ}$$
   $$=\frac{2\sin 40^\circ\cdot \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ}$$
   $$=\frac{\sin 80^\circ}{\sin 10^\circ}$$
   $$=\frac{\cos 10^\circ}{\sin 10^\circ}=\ctg 10^\circ.$$

3. $$16\cos 20^\circ\cdot \cos 40^\circ\cdot \cos 60^\circ\cdot \cos 80^\circ$$
   $$=\frac{16\sin 20^\circ\cdot \cos 20^\circ\cdot \cos 40^\circ\cdot \cos 60^\circ\cdot \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ}$$
   $$=\frac{8\sin 40^\circ\cdot \cos 40^\circ\cdot \cos 60^\circ\cdot \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ}$$
   $$=\frac{4\sin 80^\circ\cdot \cos 60^\circ\cdot \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ}$$
   $$=\frac{2\sin 160^\circ\cdot \cos 60^\circ}{\sin 20^\circ}$$
   $$=\frac{\sin(180^\circ-20^\circ)}{\sin 20^\circ}=1.$$

4. Обозначим левую часть через $$S$$:
   $$S=\tg a+2\tg 2a+4\tg 4a+8\tg 8a+16\tg 16a+32\ctg 32a.$$
   Тогда
   $$S-\ctg a=0.$$
   Используем формулу
   $$\tg x-\ctg x=\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\cos x}{\sin x}=-\frac{\cos 2x}{\sin x\cos x}=-2\ctg 2x.$$
   Получаем:
   $$\tg a-\ctg a+2\tg 2a+4\tg 4a+8\tg 8a+16\tg 16a+32\ctg 32a=0,$$
   $$-2\ctg 2a+2\tg 2a+4\tg 4a+8\tg 8a+16\tg 16a+32\ctg 32a=0,$$
   $$4\tg 4a-4\ctg 4a+8\tg 8a+16\tg 16a+32\ctg 32a=0,$$
   $$8\tg 8a-8\ctg 8a+16\tg 16a+32\ctg 32a=0,$$
   $$16\tg 16a-16\ctg 16a+32\ctg 32a=0,$$
   $$32\ctg 32a-32\ctg 32a=0.$$
   Значит, $$S=\ctg a.$$

5. $$\frac{\tg \frac a2}{\cos a}=\tg a-\tg \frac a2.$$
   Преобразуем правую часть:
   $$\tg a-\tg \frac a2=\frac{2\tg \frac a2}{1-\tg^2 \frac a2}-\tg \frac a2$$
   $$=\tg \frac a2\left(\frac{2}{1-\tg^2 \frac a2}-1\right)$$
   $$=\tg \frac a2\cdot \frac{1+\tg^2 \frac a2}{1-\tg^2 \frac a2}.$$
   Так как
   $$1+\tg^2 \frac a2=\frac{1}{\cos^2 \frac a2}, \qquad 1-\tg^2 \frac a2=\frac{\cos a}{\cos^2 \frac a2},$$
   то
   $$\tg a-\tg \frac a2=\tg \frac a2\cdot \frac{1/\cos^2 \frac a2}{\cos a/\cos^2 \frac a2}=\frac{\tg \frac a2}{\cos a}.$$

6. Рассмотрим левую часть:
   $$\sin 3a\cdot \sin^3 a+\cos 3a\cdot \cos^3 a.$$
   Используем формулы
   $$\sin 3a=\sin(2a+a)=\sin 2a\cos a+\sin a\cos 2a,$$
   $$\cos 3a=\cos(2a+a)=\cos 2a\cos a-\sin 2a\sin a.$$
   Тогда
   $$\sin 3a\cdot \sin^3 a+\cos 3a\cdot \cos^3 a$$
   $$=(\sin 2a\cos a+\sin a\cos 2a)\sin^3 a+(\cos 2a\cos a-\sin 2a\sin a)\cos^3 a$$
   $$=\sin 2a\sin a\cos a(\sin^2 a-\cos^2 a)+\cos 2a(\sin^4 a+\cos^4 a).$$
   Так как
   $$\sin^2 a-\cos^2 a=-\cos 2a,$$
   $$\sin^4 a+\cos^4 a=(\sin^2 a+\cos^2 a)^2-2\sin^2 a\cos^2 a=1-2\sin^2 a\cos^2 a,$$
   а также
   $$2\sin a\cos a=\sin 2a,$$
   то
   $$\sin 3a\cdot \sin^3 a+\cos 3a\cdot \cos^3 a$$
   $$=-2\sin^2 a\cos^2 a\cdot \cos 2a+\cos 2a(1-2\sin^2 a\cos^2 a)$$
   $$=\cos 2a\bigl(1-4\sin^2 a\cos^2 a\bigr)$$
   $$=\cos 2a(1-\sin^2 2a)=\cos 2a\cdot \cos^2 2a=\cos^3 2a.$$

Ответ

1) $$0{,}25$$; 2) $$\ctg 10^\circ$$; 3) $$1$$; 4) $$\ctg a$$; 5) тождество верно; 6) тождество верно.