Упр.1059 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) sin2x — 2cosx = 0;
2) cos2x + sin^2x = 1;
3) 4cosx = sin2x;
4) sin^2x = -cos2x;
5) sin x/2 cos x/2 + 1/2 = 0;
6) cos^2 x/2 = sin^2 x/2.

1. $$\sin 2x-2\cos x=0$$
   $$2\sin x\cos x-2\cos x=0$$
   $$2\cos x(\sin x-1)=0$$

   Отсюда:
   $$2\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x-1=0.$$

   1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n;$$
   2) $$\sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

   Второе множество входит в первое, поэтому
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\cos 2x+\sin^2 x=1$$
   $$\cos^2 x-\sin^2 x+\sin^2 x=1$$
   $$\cos^2 x=1$$
   $$\cos x=\pm 1.$$

   Тогда
   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$4\cos x=\sin 2x$$
   $$4\cos x-2\sin x\cos x=0$$
   $$2\cos x(2-\sin x)=0.$$

   Отсюда:
   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=2.$$

   Так как $$\sin x=2$$ решений не имеет, то
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\sin^2 x=-\cos 2x$$
   $$\sin^2 x+\cos 2x=0$$
   $$\sin^2 x+\cos^2 x-\sin^2 x=0$$
   $$\cos^2 x=0.$$

   Значит,
   $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

5. $$\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+\frac12=0$$
   $$\frac12\sin x+\frac12=0$$
   $$\sin x=-1.$$

   Тогда
   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

6. $$\cos^2 \frac{x}{2}=\sin^2 \frac{x}{2}$$
   $$\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}=0$$
   $$\cos x=0.$$

   Следовательно,
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
2) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
3) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
4) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
5) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
6) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$