Упр.1058 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

Преобразуем левую часть:

$$ \frac{\sin^2 a}{\cos a(1+\ctg a)}-\frac{\cos^2 a}{\sin a(1+\tg a)} $$
$$ =\frac{\sin^2 a}{\cos a\left(1+\frac{\cos a}{\sin a}\right)}-\frac{\cos^2 a}{\sin a\left(1+\frac{\sin a}{\cos a}\right)} $$
$$ =\frac{\sin^3 a}{\cos a(\sin a+\cos a)}-\frac{\cos^3 a}{\sin a(\sin a+\cos a)} $$
$$ =\frac{\sin^3 a\cdot \sin a-\cos^3 a\cdot \cos a}{\cos a\cdot \sin a\cdot (\sin a+\cos a)} $$
$$ =\frac{(\sin^2 a-\cos^2 a)(\sin^2 a+\cos^2 a)}{\cos a\cdot \sin a\cdot (\sin a+\cos a)} $$
$$ =\frac{(\sin a-\cos a)(\sin a+\cos a)}{\cos a\cdot \sin a\cdot (\sin a+\cos a)} =\frac{\sin a-\cos a}{\sin a\cdot \cos a}. $$

Преобразуем правую часть:

$$ \frac{2\sqrt2\sin\left(a-\frac{\pi}{4}\right)}{\sin 2a} =\frac{2\sqrt2\left(\sin a\cos\frac{\pi}{4}-\cos a\sin\frac{\pi}{4}\right)}{\sin 2a} $$
$$ =\frac{2\sqrt2\left(\sin a\cdot \frac{\sqrt2}{2}-\cos a\cdot \frac{\sqrt2}{2}\right)}{\sin 2a} =\frac{2(\sin a-\cos a)}{\sin 2a}. $$

Так как $$\sin 2a=2\sin a\cos a,$$ получаем:

$$ \frac{2(\sin a-\cos a)}{\sin 2a} =\frac{2(\sin a-\cos a)}{2\sin a\cos a} =\frac{\sin a-\cos a}{\sin a\cdot \cos a}. $$

Левая и правая части равны, тождество доказано.