Упр.1057 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. $$\frac{\cos 2a}{\sin a \cdot \cos a + \sin^2 a}=\ctg a-1$$

   $$\frac{\cos^2 a-\sin^2 a}{\sin a(\cos a+\sin a)}=\ctg a-1$$

   $$\frac{(\cos a-\sin a)(\cos a+\sin a)}{\sin a(\cos a+\sin a)}=\ctg a-1$$

   $$\frac{\cos a-\sin a}{\sin a}=\ctg a-1$$

   $$\frac{\cos a}{\sin a}-1=\ctg a-1$$

   $$\ctg a-1=\ctg a-1$$

   Тождество доказано.

2. $$\frac{\sin 2a-2\cos a}{\sin a-\sin^2 a}=-2\ctg a$$

   $$\frac{2\sin a\cos a-2\cos a}{\sin a(1-\sin a)}=-2\ctg a$$

   $$\frac{2\cos a(\sin a-1)}{-\sin a(\sin a-1)}=-2\ctg a$$

   $$-\frac{2\cos a}{\sin a}=-2\ctg a$$

   $$-2\ctg a=-2\ctg a$$

   Тождество доказано.

3. $$\tg a(1+\cos 2a)=\sin 2a$$

   $$\tg a\bigl((\cos^2 a+\sin^2 a)+(\cos^2 a-\sin^2 a)\bigr)=\sin 2a$$

   $$\tg a\cdot 2\cos^2 a=\sin 2a$$

   $$\frac{\sin a}{\cos a}\cdot 2\cos^2 a=\sin 2a$$

   $$2\sin a\cos a=\sin 2a$$

   $$\sin 2a=\sin 2a$$

   Тождество доказано.

4. $$\frac{1-\cos 2a+\sin 2a}{1+\cos 2a+\sin 2a}\cdot \ctg a=1$$

   $$\frac{(\cos^2 a+\sin^2 a)-(\cos^2 a-\sin^2 a)+2\sin a\cos a}{(\cos^2 a+\sin^2 a)+(\cos^2 a-\sin^2 a)+2\sin a\cos a}\cdot \ctg a=1$$

   $$\frac{2\sin^2 a+2\sin a\cos a}{2\cos^2 a+2\sin a\cos a}\cdot \ctg a=1$$

   $$\frac{2\sin a(\sin a+\cos a)}{2\cos a(\cos a+\sin a)}\cdot \ctg a=1$$

   $$\frac{\sin a}{\cos a}\cdot \ctg a=1$$

   $$\tg a\cdot \ctg a=1$$

   Тождество доказано.

5. $$\frac{(1-2\cos^2 2a)(2\sin^2 2a-1)}{4\sin^2 a\cdot \cos^2 a}=\ctg^2 2a$$

   $$\frac{\bigl((\cos^2 2a+\sin^2 2a)-2\cos^2 2a\bigr)\bigl(2\sin^2 2a-(\cos^2 2a+\sin^2 2a)\bigr)}{(2\sin a\cos a)^2}=\ctg^2 2a$$

   $$\frac{(-\cos^2 2a+\sin^2 2a)(-\cos^2 2a-\sin^2 2a)}{\sin^2 2a}=\ctg^2 2a$$

   $$\frac{\cos^2 2a}{\sin^2 2a}=\ctg^2 2a$$

   $$\ctg^2 2a=\ctg^2 2a$$

   Тождество доказано.

6. $$1-2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right)=\sin a$$

   $$\cos 2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right)=\sin a$$

   $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\sin a$$

   $$\sin a=\sin a$$

   Тождество доказано.

7. $$\frac{\sin a+\sin 2a}{1+\cos a+\cos 2a}=\tg a$$

   $$\frac{\sin a+2\sin a\cos a}{(\cos^2 a+\sin^2 a)+\cos a+(\cos^2 a-\sin^2 a)}=\tg a$$

   $$\frac{\sin a(1+2\cos a)}{\cos a+2\cos^2 a}=\tg a$$

   $$\frac{\sin a(1+2\cos a)}{\cos a(1+2\cos a)}=\tg a$$

   $$\frac{\sin a}{\cos a}=\tg a$$

   $$\tg a=\tg a$$

   Тождество доказано.

Ответ

Все данные тождества верны.