Упр.1055 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) sin2a = (sina + cosa)^2 — 1;
2) (sina — cosa)^2 = 1 — sin2a;
3) cos^4a — sin^4a = cos2a;
4) 2cos^2a — cos2a = 1.

1. $$\sin 2a=(\sin a+\cos a)^2-1$$

   Раскроем скобки:
   $$ (\sin a+\cos a)^2-1=\sin^2 a+\cos^2 a+2\sin a\cos a-1 $$
   $$ =1+2\sin a\cos a-1=2\sin a\cos a=\sin 2a $$

   Тождество доказано.

2. $$ (\sin a-\cos a)^2=1-\sin 2a $$

   Раскроем скобки:
   $$ (\sin a-\cos a)^2=\sin^2 a+\cos^2 a-2\sin a\cos a $$
   $$ =1-\sin 2a $$

   Тождество доказано.

3. $$ \cos^4 a-\sin^4 a=\cos 2a $$

   Разложим разность квадратов:
   $$ \cos^4 a-\sin^4 a=(\cos^2 a-\sin^2 a)(\cos^2 a+\sin^2 a) $$
   $$ =(\cos^2 a-\sin^2 a)\cdot 1=\cos 2a $$

   Тождество доказано.

4. $$ 2\cos^2 a-\cos 2a=1 $$

   Подставим формулу $$\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a$$:
   $$ 2\cos^2 a-(\cos^2 a-\sin^2 a)=1 $$
   $$ \cos^2 a+\sin^2 a=1 $$

   Тождество доказано.

Ответ

Все четыре тождества верны.