Упр.1044 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) sin^2(a -b) + sin^2b + 2sin(a — b) sin b cos a = sin^2a;
2) tg3a = tgatg(pi/3+a)tg^(pi/3-a)

Подробный ответ

Преобразуем левую часть:
$$\sin^2(a-b)+\sin^2 b+2\sin(a-b)\sin b\cos a$$
Используем формулу $$\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$$:
$$ (\sin a\cos b-\cos a\sin b)^2+\sin^2 b+2(\sin a\cos b-\cos a\sin b)\sin b\cos a $$
Раскроем скобки:
$$ \sin^2 a\cos^2 b-2\sin a\cos a\sin b\cos b+\cos^2 a\sin^2 b+\sin^2 b +2\sin a\sin b\cos a\cos b-2\cos^2 a\sin^2 b $$
Сократим одинаковые слагаемые:
$$ \sin^2 a\cos^2 b-\cos^2 a\sin^2 b+\sin^2 b $$
Так как $$1-\cos^2 a=\sin^2 a$$, получаем:
$$ \sin^2 a\cos^2 b+\sin^2 b(1-\cos^2 a) =\sin^2 a\cos^2 b+\sin^2 a\sin^2 b $$
$$ =\sin^2 a(\cos^2 b+\sin^2 b)=\sin^2 a $$
Тождество доказано.
Преобразуем правую часть:
$$\tg a\cdot \tg\left(\frac{\pi}{3}+a\right)\cdot \tg\left(\frac{\pi}{3}-a\right)$$
Используем формулы сложения и вычитания для тангенса:
$$ \tg\left(\frac{\pi}{3}+a\right)=\frac{\tg\frac{\pi}{3}+\tg a}{1-\tg\frac{\pi}{3}\tg a}, \qquad \tg\left(\frac{\pi}{3}-a\right)=\frac{\tg\frac{\pi}{3}-\tg a}{1+\tg\frac{\pi}{3}\tg a} $$
Так как $$\tg\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$$, то
$$ \tg a\cdot \frac{\sqrt{3}+\tg a}{1-\sqrt{3}\tg a}\cdot \frac{\sqrt{3}-\tg a}{1+\sqrt{3}\tg a} $$
Перемножим дроби:
$$ \tg a\cdot \frac{3-\tg^2 a}{1-3\tg^2 a} $$
Подставим $$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a}$$:
$$ \frac{\sin a}{\cos a}\cdot \frac{3-\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}}{1-3\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}} = \frac{\sin a(3\cos^2 a-\sin^2 a)}{\cos a(\cos^2 a-3\sin^2 a)} $$
Используем формулы $$\sin 3a=3\sin a-4\sin^3 a$$ и $$\cos 3a=4\cos^3 a-3\cos a$$, либо сразу преобразуем числитель и знаменатель:
$$ \frac{\sin a(2\cos^2 a+\cos^2 a-\sin^2 a)}{\cos a(\cos^2 a-\sin^2 a-2\sin^2 a)} = \frac{\sin a(2\cos^2 a+\cos 2a)}{\cos a(\cos 2a-2\sin^2 a)} $$
В итоге получаем:
$$ \frac{\sin 3a}{\cos 3a}=\tg 3a $$
Тождество доказано.