Упр.1043 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) (1+tga)(1+tgb) = 2;
2) (1 — ctga)(l — ctgb) = 2.

1) Преобразуем левую часть:

$$ (1+\tg a)(1+\tg b)=1+\tg a+\tg b+\tg a\cdot \tg b. $$

Так как $$a+b=\frac{\pi}{4},$$ то

$$ \tg(a+b)=\frac{\tg a+\tg b}{1-\tg a\cdot \tg b}=1. $$

Отсюда

$$ \tg a+\tg b=1-\tg a\cdot \tg b. $$

Подставим это в выражение:

$$ (1+\tg a)(1+\tg b)=1+\bigl(1-\tg a\cdot \tg b\bigr)+\tg a\cdot \tg b=2. $$

Что и требовалось доказать.

2) Аналогично рассмотрим второе равенство:

$$ (1-\ctg a)(1-\ctg b)=1-\ctg a-\ctg b+\ctg a\cdot \ctg b. $$

Так как $$a+b=\frac{\pi}{4},$$ то

$$ \ctg(a+b)=1. $$

Используем формулу:

$$ \ctg(a+b)=\frac{\ctg a\cdot \ctg b-1}{\ctg a+\ctg b}. $$

Тогда

$$ \frac{\ctg a\cdot \ctg b-1}{\ctg a+\ctg b}=1, $$

откуда

$$ \ctg a+\ctg b=\ctg a\cdot \ctg b-1. $$

Подставим:

$$ (1-\ctg a)(1-\ctg b)=1-\bigl(\ctg a\cdot \ctg b-1\bigr)+\ctg a\cdot \ctg b=2. $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$ (1+\tg a)(1+\tg b)=2,\qquad (1-\ctg a)(1-\ctg b)=2. $$