Упр.1041 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) (tga+tgb)/(tga-tgb)
2) (1+tgatgb)/(1-tgatgb)
3) sin 6a • ctg3a — cos 6a;
4) cos a/2 • ctg a/4 + sin a/2;
5) cos2a + sin2a • tga;
6) cos2a — sin2a • ctga.

1. $$\frac{\tg a+\tg b}{\tg a-\tg b}=\frac{\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\sin b}{\cos b}}{\frac{\sin a}{\cos a}-\frac{\sin b}{\cos b}}$$
   $$=\frac{\sin a\cos b+\sin b\cos a}{\sin a\cos b-\sin b\cos a}=\frac{\sin(a+b)}{\sin(a-b)}.$$
2. $$\frac{1+\tg a\,\tg b}{1-\tg a\,\tg b}=\frac{1+\frac{\sin a\sin b}{\cos a\cos b}}{1-\frac{\sin a\sin b}{\cos a\cos b}}$$
   $$=\frac{\cos a\cos b+\sin a\sin b}{\cos a\cos b-\sin a\sin b}=\frac{\cos(a-b)}{\cos(a+b)}.$$
3. $$\sin 6a\cdot \ctg 3a-\cos 6a=\sin 6a\cdot \frac{\cos 3a}{\sin 3a}-\cos 6a$$
   $$=\frac{\sin 6a\cos 3a-\cos 6a\sin 3a}{\sin 3a}=\frac{\sin(6a-3a)}{\sin 3a}=1.$$
4. $$\cos \frac a2\cdot \ctg \frac a4+\sin \frac a2=\cos \frac a2\cdot \frac{\cos \frac a4}{\sin \frac a4}+\sin \frac a2$$
   $$=\frac{\cos \frac a2\cos \frac a4+\sin \frac a2\sin \frac a4}{\sin \frac a4}=\frac{\cos\left(\frac a2-\frac a4\right)}{\sin \frac a4}=\ctg \frac a4.$$
5. $$\cos 2a+\sin 2a\cdot \tg a=\cos 2a+\sin 2a\cdot \frac{\sin a}{\cos a}$$
   $$=\frac{\cos 2a\cos a+\sin 2a\sin a}{\cos a}=\frac{\cos(2a-a)}{\cos a}=1.$$
6. $$\cos 2a-\sin 2a\cdot \ctg a=\cos 2a-\sin 2a\cdot \frac{\cos a}{\sin a}$$
   $$=\frac{\cos 2a\sin a-\sin 2a\cos a}{\sin a}=\frac{\sin(a-2a)}{\sin a}=-1.$$

Ответ

1) $$\frac{\sin(a+b)}{\sin(a-b)}$$;
2) $$\frac{\cos(a-b)}{\cos(a+b)}$$;
3) $$1$$;
4) $$\ctg \frac a4$$;
5) $$1$$;
6) $$-1$$.