Упр.1040 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) cos бx cos 5х + sin бx sin 5х = -1;
2) sin Зх cos 5x — sin 5x cos Зх = —1;
3) v2cos(pi/4+x)-cosx = 1;
4) v2sin(pi/4-x/2)+sinx/2 = 1.

1. $$\cos 6x \cos 5x+\sin 6x \sin 5x=-1$$

   По формуле $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$ получаем:

   $$\cos(6x-5x)=-1,$$
   $$\cos x=-1.$$

   Тогда
   $$x=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin 3x \cos 5x-\sin 5x \cos 3x=-1$$

   По формуле $$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha$$ имеем:

   $$\sin(3x-5x)=-1,$$
   $$\sin(-2x)=-1,$$
   $$-\sin 2x=-1,$$
   $$\sin 2x=1.$$

   Тогда
   $$2x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,$$
   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

3. $$\sqrt2\cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\cos x=1$$

   Раскроем косинус суммы:

   $$\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos x-\sin\frac{\pi}{4}\sin x\right)-\cos x=1,$$
   $$\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos x-\frac{\sqrt2}{2}\sin x\right)-\cos x=1,$$
   $$\cos x-\sin x-\cos x=1,$$
   $$-\sin x=1.$$

   Следовательно,
   $$\sin x=-1,$$
   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

4. $$\sqrt2\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)+\sin\frac{x}{2}=1$$

   Раскроем синус разности:

   $$\sqrt2\left(\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{x}{2}-\cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{x}{2}\right)+\sin\frac{x}{2}=1,$$
   $$\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos\frac{x}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\sin\frac{x}{2}\right)+\sin\frac{x}{2}=1,$$
   $$\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}=1,$$
   $$\cos\frac{x}{2}=1.$$

   Тогда
   $$\frac{x}{2}=2\pi k,$$
   $$x=4\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\pi+2\pi k$$; 2) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k$$; 3) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$$; 4) $$x=4\pi k$$, $$k\in\mathbb Z$$.