Упр.104 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1. Доказать, что для любых $$a>0$$ и $$b>0$$ верно неравенство:
   1) $$ab\geq 2\sqrt{ab}-1$$;
   2) $$\frac{a}{b}\geq 2-\frac{b}{a}$$.

1) Преобразуем левую часть неравенства:

$$ab \ge 2\sqrt{ab}-1$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$ab-2\sqrt{ab}+1 \ge 0$$

Это квадрат двучлена:

$$\left(\sqrt{ab}-1\right)^2 \ge 0$$

Так как квадрат любого числа неотрицателен, неравенство верно.

2) Аналогично:

$$\frac{a}{b} \ge 2-\frac{b}{a}$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac{a}{b}-2+\frac{b}{a} \ge 0$$

Приведём к квадрату:

$$\left(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2 \ge 0$$

Следовательно, неравенство также верно.

Ответ

Оба неравенства верны, так как в каждом случае получаем квадрат числа, а он неотрицателен.