Упр.1038 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

$$ \frac{\sin\left(\frac{\pi}{6}+a\right)-\cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{6}+a\right)+\cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right)} $$

Раскроем скобки по формулам сложения:

$$ \sin\left(\frac{\pi}{6}+a\right)=\sin\frac{\pi}{6}\cos a+\cos\frac{\pi}{6}\sin a =\frac12\cos a+\frac{\sqrt3}{2}\sin a, $$

$$ \cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right)=\cos\frac{\pi}{3}\cos a-\sin\frac{\pi}{3}\sin a =\frac12\cos a-\frac{\sqrt3}{2}\sin a. $$

Подставим в дробь:

$$ \frac{\left(\frac12\cos a+\frac{\sqrt3}{2}\sin a\right)-\left(\frac12\cos a-\frac{\sqrt3}{2}\sin a\right)} {\left(\frac12\cos a+\frac{\sqrt3}{2}\sin a\right)+\left(\frac12\cos a-\frac{\sqrt3}{2}\sin a\right)} = \frac{\sqrt3\sin a}{\cos a}. $$

Следовательно,

$$ \frac{\sin\left(\frac{\pi}{6}+a\right)-\cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{6}+a\right)+\cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right)} =\sqrt3\tan a. $$