Упр.1035 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
$$\frac{\sin(a+\beta)}{\sin(a-\beta)}=\frac{\tg a+\tg \beta}{\tg a-\tg \beta}.$$
Преобразуем левую часть:
$$ \frac{\sin(a+\beta)}{\sin(a-\beta)}= \frac{\sin a\cos \beta+\cos a\sin \beta}{\sin a\cos \beta-\cos a\sin \beta} $$
$$ = \frac{\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\sin \beta}{\cos \beta}} {\frac{\sin a}{\cos a}-\frac{\sin \beta}{\cos \beta}} = \frac{\tg a+\tg \beta}{\tg a-\tg \beta}. $$
Тождество доказано.
$$\frac{\cos(a-\beta)}{\cos(a+\beta)}=\frac{\ctg a\cdot \ctg \beta+1}{\ctg a\cdot \ctg \beta-1}.$$
Преобразуем левую часть:
$$ \frac{\cos(a-\beta)}{\cos(a+\beta)}= \frac{\cos a\cos \beta+\sin a\sin \beta}{\cos a\cos \beta-\sin a\sin \beta} $$
$$ = \frac{\frac{\cos a}{\sin a}\cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta}+1} {\frac{\cos a}{\sin a}\cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta}-1} = \frac{\ctg a\cdot \ctg \beta+1}{\ctg a\cdot \ctg \beta-1}. $$
Тождество доказано.
$$\cos\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos a-\sin a).$$
Преобразуем левую часть:
$$ \cos\left(\frac{\pi}{4}+a\right)= \cos\frac{\pi}{4}\cos a-\sin\frac{\pi}{4}\sin a $$
$$ =\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a =\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos a-\sin a). $$
Тождество доказано.
$$\frac{\cos(a+\beta)}{\cos a\cdot \sin \beta}=\ctg \beta-\tg a.$$
Преобразуем левую часть:
$$ \frac{\cos(a+\beta)}{\cos a\cdot \sin \beta} = \frac{\cos a\cos \beta-\sin a\sin \beta}{\cos a\cdot \sin \beta} $$
$$ = \frac{\cos \beta}{\sin \beta}-\frac{\sin a}{\cos a} = \ctg \beta-\tg a. $$
Тождество доказано.
Ответ
Все четыре тождества верны.
