Упр.1034 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) cos(a — b) — cos(a +b);
2) cos(pi/4+a)cos(pi/4 — a) +1/2sin^2a;
3) сos3a + sinasin2a;
4) cos2a — cosacos3a.

1. $$\cos(a-b)-\cos(a+b)=\left(\cos a\cos b+\sin a\sin b\right)-\left(\cos a\cos b-\sin a\sin b\right)$$

   $$=2\sin a\sin b$$

2. $$\cos\left(\frac{\pi}{4}+a\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)+\frac12\sin^2 a$$

   $$=\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos a-\sin\frac{\pi}{4}\sin a\right)\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos a+\sin\frac{\pi}{4}\sin a\right)+\frac12\sin^2 a$$

   $$=\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos a-\frac{\sqrt2}{2}\sin a\right)\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos a+\frac{\sqrt2}{2}\sin a\right)+\frac12\sin^2 a$$

   $$=\frac12(\cos a-\sin a)(\cos a+\sin a)+\frac12\sin^2 a$$

   $$=\frac12(\cos^2 a-\sin^2 a)+\frac12\sin^2 a=\frac12\cos^2 a$$

3. $$\cos 3a+\sin a\sin 2a=\cos(a+2a)+\sin a\sin 2a$$

   $$=\left(\cos a\cos 2a-\sin a\sin 2a\right)+\sin a\sin 2a=\cos a\cos 2a$$

4. $$\cos 2a-\cos a\cos 3a=\cos 2a-\left(\cos(3a-a)-\sin a\sin 3a\right)$$

   $$=\cos 2a-\cos 2a+\sin a\sin 3a=\sin a\sin 3a$$

Ответ

1) $$2\sin a\sin b$$;
2) $$\frac12\cos^2 a$$;
3) $$\cos a\cos 2a$$;
4) $$\sin a\sin 3a$$.